§2. Моделирование процесса изучения точных наук

§2. Моделирование процесса изучения точных наук
В данном разделе мы будем исследовать следующие вопросы.

1. Каковы оптимальные принципы построения курсов обучения по формальным дисциплинам?

2. Какие специальные приемы могут оказать помощь при обучении?

Кратко опишем используемую далее модель курса формальной науки и основные трудности, возникающие при обучении. В качестве элементарных кирпичиков, из которых строится курс, мы будем рассматривать факты, методы и связи.

- Факты – это утверждения, верные в данном контексте (при определенных условиях). Например: ab = 16 при а = 4 и b = 2. Или: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

- Метод – это совокупность факта и условий, для которых он справедлив, предназначенная для вывода одних фактов из других. Одна и та же совокупность факта и условий его справедливости может быть методом в одном курсе и не быть им – в другом. Еще чаще факты, не являющиеся методами, являются просто промежуточными этапами каких-либо рассуждений. Например, в курсе алгебры встречается такой факт: (a+b)(ab) = a2 + ab – ab – b2. В правой части не приведены подобные члены, поэтому этим фактом не пользуются напрямую – он не является методом. А вот после применения к этому факту метода приведения подобных членов он превращается в следующий часто используемый метод: (a+b)(ab) = a2 – b2. Теоремы, как правило, являются методами, а промежуточные факты, используемые при их доказательстве – как правило, нет.

- Связь – это сведения о том, какой именно метод надо применять к данному факту в процессе текущего рассуждения. При отсутствии таких сведений восстановление их иногда возможно, в общем же случае требует повторения работы создателей изучаемой науки.

С нашей точки зрения, основной целью курса по какой-либо из точных дисциплин является вывод набора методов, которые в дальнейшем можно будет применять для решения конкретных задач. Каждый из методов может быть выведен как одним способом, так и несколькими, и даже нулем способов – вовсе не выведен, а просто сообщен. В дальнейшем мы подробно обсудим целесообразность приведения одного или нескольких способов вывода, или же отказа от их обсуждения.

Для описания процесса изучения курса фундаментальными являются термины: расстояние между фактами и круг понятий.

Расстоянием между фактами А и Б мы будем называть количество умозаключений, необходимых, чтобы из факта А вывести факт Б с помощью известных методов. Под умозаключением мы здесь понимаем однократное применение известного метода. Если А и Б не являются логически связанными, то расстояние между ними не определено. Термин "расстояние между фактами" мы будем использовать лишь для тех фактов, для которых задача установления логической связи не заставляет вводить новые методы, кроме тех, что уже известны в курсе к тому моменту, когда в нем впервые упоминается факт А (это значит, что А и Б близко связаны по смыслу). Также мы будем употреблять выражение "Б получается из А за М шагов", если расстояние между А и Б равно М.

Определение круга понятий мы дадим индуктивным способом. По ходу дела мы также определим вспомогательный термин ядро круга понятий. Начальная точка индукции: ядром нулевого круга понятий называются аксиомы, постулаты и известные из других теорий факты и методы, являющиеся стартовыми для изучаемой теории.

Все методы, которые получаются из ядра нулевого круга понятий (в рамках данного курса) менее чем за М0, шагов образуют оболочку нулевого круга понятий. Совокупность ядра и оболочки дает нулевой круг понятий.

Затем делаем шаг индукции: рассмотрим все новые методы, которые могут быть выведены с использованием методов первых L кругов понятий (без введения дополнительных методов). Новые методы не должны принадлежать к упомянутым первым L кругам. Эти новые методы образуют ядро (L+1)го круга понятий. Оболочка (L+1)го круга понятий строится из его ядра так же, как и для нулевого круга – в нее входят все методы, которые получаются из ядра (L+1)го круга понятий менее чем за М0 шагов. А совокупность ядра и оболочки дает сам (L+1)й круг понятий. Смысл деления на ядро и оболочку: в ядро обычно входят теоремы, а в оболочку – следствия из них; М0 – максимальная длина рассуждения, с помощью которого выводятся следствия – обычно не больше трех. Поскольку следствий из теорем обычно много и они тесно с ними связаны, было бы неестественно, чтобы теоремы и следствия из них оказывались в разных кругах понятий. Поэтому и введено такое усложнение в определение круга понятий – деление круга на ядро и оболочку.

Итак, условимся, что процесс обучения состоит в продвижении с нулевого ко все более далеким кругам понятий. При этом в выводе метода первого круга участвуют методы нулевого круга; при выводе метода второго круга участвуют методы первого и т.д. (На самом-то деле в выводе метода kго круга могут участвовать методы k2го, k3го. Более того, похоже, что чем менее формальной является наука, тем более в выводе метода k-го круга участвуют методы кругов ниже (k1)го вплоть до нулевого).

В рамках упрощенной модели будем считать, что в выводе методов некоторого круга участвуют только методы предыдущего (участием методов текущего круга по коротким путям также пренебрегаем). Далее, в целях упрощения расчетов предположим, что для того чтобы вывести метод следующего круга, нам надо проделать цепочку из М умозаключений (хотя, конечно, в реальности М не есть константа). О наличии оболочки у круга понятий мы пока забудем (она не очень сильно влияет на результаты). И, кроме того, предположим, что существует N вариантов умозаключений, с помощью которых мы можем вывести данный метод (как правило, в реальных курсах N = 1, но далее мы увидим, что это далеко не всегда хорошо).

Под операбельным методом будем понимать метод, который человек может использовать в своих рассуждениях. Для этого нужно, чтобы он данный метод либо помнил, либо был в состоянии вывести.

Рис. 14. Структура курса формальной науки

Изображен один из методов круга понятий i+1, два метода из круга i, на которые он ссылается, пунктирные стрелки обозначают потенциальное использование в выводе методов круга i методов круга i1.

Основную задачу нашего исследования можно сформулировать следующим образом: как изменяется доля операбельных методов при переходе с начальных кругов понятий к последующим? Как на результат влияют число вариантов вывода N, число звеньев в умозаключении М, начальная доля операбельных методов в нулевом круге понятий p0 и доля запоминаемых методов из каждого круга понятий pmem?

Рассмотрим две полярные ситуации. Первая – при изучении предмета смысл употребляемых понятий становится все яснее, а рассуждения строить все легче. Вторая, не менее часто встречающаяся, – "чем дальше в лес, тем больше дров", т.е. понимание предмета быстро сходит на нет.

Построим наглядную схему, иллюстрирующую структуру курса формальной науки (см. рис. 14). Она облегчит нам дальнейшие рассуждения. Заметим, что ключевой ролью связей является восстановление информации: метод F функционирует, если мы или а) просто помним его; или б) помним внутри хотя бы одного пути, которым этот метод выводится, все связи и все методы, на которые эти связи ссылаются (можем восстановить нужный метод); или в) то же, что и б), но мы помним не все методы, которые нам нужны для восстановления F, однако недостающие, в свою очередь, можем восстановить.

На рисунке мы можем увидеть, что совокупность кругов понятий образует своего рода иерархическую структуру. Круги понятий соответствуют уровням в этой иерархии. Далее мы будем часто пользоваться процедурой перехода от более низких к более высоким уровням (как отражающей сущность процесса обучения).

Начнем с того, что получим формулу для вычисления доли операбельных фактов на уровне i+1, если нам известна эта доля для уровня i. При этом будем пока считать, что связи (данные о том, какой метод применять для перехода от одного факта к другому в каждом конкретном случае) мы всегда помним стопроцентно. Это упрощение опирается на то, что связи содержат в себе гораздо меньше информации, нежели методы, и, следовательно, их легче запоминать. Потом мы увидим, что даже малый процент ошибок при запоминании связей вносит большие изменения в результаты. Так что на самом деле то, что мы сейчас рассчитываем, будет относиться к случаю, когда связи можно каким-либо образом восстановить. Обычно для этого служат так называемые эвристические соображения, о которых речь пойдет позже.

Итак, найдем долю операбельных методов в (i+1)м круге понятий (обозначим ее pi+1), если их доля в iм круге есть pi. Или же, другими словами, мы найдем вероятность того, что некий метод в (i+1)м круге является операбельным.

Эта вероятность есть 1qi+1, где qi+1, в свою очередь, есть вероятность того, что рассматриваемый метод не является операбельным.

Поскольку метод не является операбельным, лишь если мы и не помним его, и не в можем вывести, то qi+1 = qmemЧqвыв (qmem – вероятность не помнить данный метод, qвыв – вероятность не быть в состоянии вывести его). При этом пока будем считать, что qmem не зависит от круга понятий и что эта вероятность определяется количеством решаемых задач (поскольку запоминание методов лучше всего происходит именно при решении задач).

В первом приближении можно предположить, что субъект решает задачи, пользуясь указаниями и готовыми примерами, и что число методов, запомненных им, не зависит от того, насколько он эти методы понимает (т.е. может указать, откуда они взялись). Другими словами, решение задач позволяет запоминать методы, и тем самым увеличивать величину pmem = 1qmem, определяющую вероятность запоминания метода. В то же время qвыв зависит от круга понятий. Вероятность вывести метод одним способом есть piM. Вероятность вывести его любым из N способов есть (1piM)N, то есть qвыв = (1piM)N. Таким образом получаем, что

. (15)

То есть процесс изучения науки – продвижения от нулевого круга понятий ко все более далеким кругам – можно рассматривать как итерационный процесс. По его устойчивой неподвижной точке можно судить о качестве стратегии обучения.

Рассмотрим свойства отображения (15) при различных значениях M и N.

Для начала возьмем pmem = 0. При этом p = 0 и p = 1 – неподвижные точки отображения. Первая соответствует провалу стратегии, вторая – успеху. Пусть среднее число звеньев в цепочке умозаключений М = 4. Это нечто среднее между школьной математикой, где М ~ 3, и высшей математикой с М і 5.

При N = 1 и р0 < 1 (т.е. когда начальные знания не являются абсолютно полными) отображение (15) сходится нулю (см. рис. 15). Вывод: не решая задач, не запоминая с их помощью некоторой доли материала, невозможно выучить какую-либо науку, если все ее факты выводятся только одним способом.

Рис. 15. Кривые, описывающие отображение (15) для случая, когда ученик не решает задачи (pmem=0)

При N = 2 и 3 мы находим критическое значение доли начальных знаний ркр равным 0,92 и 0,81 соответственно. То есть при р0 > ркр процесс обучения сходится к 1, в противном случае – к нулю. То есть мы видим, что даже при достаточно большом N обучающийся субъект должен обладать достаточно прочными начальными знаниями, в противном случае процесс обучения не даст никакого результата.

Посмотрим, насколько картина меняется при ненулевых значениях рmem, т.е. при условии решения задач (рис. 16 и рис. 17).

Рис. 16. Кривые, описывающие отображение (15) для случая, когда pmem=0,3 Рис. 17. Кривые, описывающие отображение (15) для случая, когда pmem=0,5

Мы видим, что при рmem = 0,3 общая картина не слишком сильно отличается от предыдущей. Стратегия с N = 1 по-прежнему не дает шансов на сколько-нибудь полное изучение предмета. Для N = 2 и 3 величина ркр уменьшилась на несколько сотых. Только при недостаточном уровне начальных знаний процесс обучения сходится не к нулю, а к величине, чуть больше рmem. Впрочем, при N і 6 нижняя устойчивая точка исчезает и при любом уровне начальных знаний процесс обучения сходится к 1. Но N = 6 – это неправдоподобно большое значение, поскольку трудно представить себе студента, который готовится сразу по шести учебникам.

Совершенно другую картину мы наблюдаем при рmem = 0,5. В этом случае только при N = 1 наблюдается та же картина, что и в прошлый раз – выучить науку полностью невозможно. Но уже при N = 2 и, тем более, при более высоких значениях N при любом уровне начальных знаний процесс обучения сходится к 1. То есть по мере того как человек решает все большее количество задач и увеличивает уровень рmem, наступает момент, когда недостаточный (сколь угодно малый!) уровень начальных знаний более не является преградой для практически полного владения изучаемым предметом. Скачкообразное повышение достигаемого уровня владения изучаемым предметом, происходящее при повышении рmem до уровня p*mem, мы будем называть скачком понимания.

Стоит, однако, задаться вопросом, нужно ли решать задачи до достижения этого порогового (при данном N) уровня человеку, если уровень его начальных знаний достаточно высок. Оказывается, смысл здесь не только в увеличении количества изученного материала, но также и в сокращении затрат времени на вывод каждого метода, который понадобится. Фактически для того, чтобы среднее время вывода операбельного метода было небольшим для кругов понятий с большими номерами, скачок понимания должен быть обязательно достигнут.

Также можно доказать, что для курса с большим числом вариантов вывода метода изучение материала до достижения скачка понимания займет меньшее время.

Итак, увеличение N в курсе является важнейшим фактором повышения эффективности обучения. Дополнительные исследования показали, что модель сохраняет качественные особенности поведения при замене ряда упрощающих предположений другими, более близкими к реальности.

Все сказанное только весьма схематично отражает процесс обучения сложному материалу. Однако, на наш взгляд, один результат, обсуждавшийся выше, имеет непосредственное отношение к обучению людей профессиям, связанным с высокой ответственностью и риском. Среди основных критериев отбора людей и оценки результатов их обучения должно быть время, затрачиваемое на достижение скачка понимания. Люди, способные быстро его совершить, смогут быстро заполнять пробелы в своем образовании, быстро адаптироваться к изменению технологий, методов, системного окружения.