§10. Простой пример

§10. Простой пример
Приведем теперь простой модельный пример, позволяющий продемонстрировать понятия русел и джокеров. Рассмотрим хаотическую систему, состоящую из двух связанных частей, каждая из которых, в свою очередь, является хаотической системой

Предполагается, что размерность x мала. Изменяющуюся связь мы выберем таким образом, чтобы внутри некоторой области G О Rr выполнялось m(xn) @ 0, а вне ее – m(xn) № 0. То есть, когда xn попадает в G, у нас получается для x почти независимая подсистема xn+1 = f1(xn). Таким образом получается русло.

Получим временной ряд для некоторой наблюдаемой xn = h(xn) и посмотрим, удастся ли данное русло найти по временному ряду. Заметим, что именно хороший выбор наблюдаемой величины делает данный пример простым и избавляет нас от тяжелой процедуры поиска нужной проекции (если взять xn = h(xn,yn), все будет иначе).

В приведенном ниже примере в качестве отображения f1(xn) мы использовали модифицированное отображение Хенона

(7)

Модификация необходима для того, чтобы траектория не уходила на бесконечность, как это случается в исходном отображении Хенона. В качестве отображения f2(yn) мы использовали три идентичных отображения (7) с постоянной связью. Результирующая система имела следующий вид:

(8)

Из вида функции m(x) следует, что область G соответствует x1,n > 0. Такой выбор не случаен, поскольку в этой полуплоскости у отображения f1(xn) имеется неподвижная точка. Иными словами, благодаря такому выбору траектория проводит несколько последовательных итераций в области G, что может быть важно для обнаружения русла по временному ряду при помощи реконструкции (2).

На первый взгляд, временной ряд для (8) почти не отличается от ряда для невозмущенной системы (7), но при помощи графика корреляционного интеграла, а точнее графика его наклона, эффект переменной связи легко наблюдаем, (см. рис. 2).

Из этого графика можно сделать вывод, что скорее всего обрабатываемый ряд порожден маломодовой динамической системой, но постоянный рост наклона с увеличением размерности вложения делает его несколько "случайным". Следовательно, в проекции на плоскость x мы получаем описанную выше ситуацию: маломодовая динамика внутри G и более сложное поведение вне ее. В данном случае "джокер" оказывается слабым и просто добавляет небольшой "шум" к маломодовому "сигналу".

Чтобы применить наш подход к анализу полученного временного ряда, необходимо в реконструированном пространстве найти область русла G (еще раз заметим, что здесь нам не нужно искать нужную проекцию малой размерности, достаточно просто взять небольшое m). Чтобы найти русло, мы использовали сравнительно простую методику, которую можно назвать тест на линейное предсказание (ТЛП).

Рис. 2. График корреляционного интеграла log2C(e) от log2e и его наклона для временного ряда наблюдаемой x1,i модельной системы (8)

Длина ряда N = 104, размерность вложения m = 4,6,8,10,12,14,16. Видно, что набор zвекторов не выглядит случайным, скорее они образуют "нечто небольшой размерности", но структура этого множества меняется с ростом m, а наклон постепенно растет. Обычно такое поведение интерпретируют как присутствие шума. В нашем случае, с точки зрения маломодового русла, это влияние джокера, а с точки зрения всей системы (8) это следствие проблем с применимостью теоремы Такенса: из-за переменной связи m(x) наблюдаемая x1,i не позволяет реконструировать всю систему целиком.

Его идею можно пояснить следующим образом. Как уже указывалось ранее, прогноз временного ряда означает интерполяцию функции F(z) из (формулы (3)) в нужной точке z по известным значениям F(z0k) в соседних точках z0k. Для простоты рассмотрим одномерный случай: пусть дана некоторая функция f(x), значения которой известны в дискретных точках xi, fi = f(xi), и необходимо интерполировать значение функции в некоторой точке x О [xi;xi+1]. Также для простоты будем считать, что точки xi образуют равномерную сетку, т.е. xi+1 – xi = h для всех i. Тогда линейная аппроксимация, использующая соседние точки fi и fi+1, имеет вид

,

где x = (xi+1+xi) / 2.

Рис. 3. Результаты применения теста на линейное предсказание (ТЛП) для короткого (N = 103) временного ряда наблюдаемой x1,i, порожденного модельной системой (8)

Крестиками показаны "плохие" точки, точками – "хорошие", в которых хороший прогноз возможен. При применении ТЛП к проекции малой размерности (m = 2 – слева) область русла, отвечающая полуплоскости xi > 0, ясно выделяется по отсутствию плохих точек. Для проекции большей размерности (m = 6 – справа).

Погрешность данной аппроксимации можно приближенно оценить как e ~ f''(x)h2, а вторую производную можно аппроксимировать второй разностью, тогда

.

Следовательно, погрешность аппроксимации можно по порядку величины оценить как разницу между значением f в некоторой точке и ее линейной аппроксимацией по ближайшим соседям. Такую форму оценки погрешности легко обобщить на многомерный случай. Так мы приходим к идее ТЛП. Будем оценивать "качество" точки zi следующим образом.

1. Выберем некоторое количество k > m+2 ближайших соседей точки zi – zs, s = i1,i2,…ik, где известны значения F(zs), и построим линейную аппроксимацию Lk(z) по этим k соседям (но не используя для построения аппроксимации саму точку zi, где F(zi) также известно). Таким образом мы получим две величины, e1 = |Lk(zi) – F(zi)| и e2 = max s |Lk(zs) – F(zs) |.

2. Затем будем уменьшать k, а именно, будем по одной отбрасывать те точки zs, для которых операция отбрасывания дает наибольшее уменьшение погрешности e = |Lk1(zi) – F(zi)|. Повторяем эту процедуру до тех пор пока k і m+2 и уменьшение e составляет по крайней мере 2%.

3. В результате получаем некоторое новое k' < k и значения e3 = |Lk'(zi) – F(zi)| и e4 = maxs |Lk'(zs) – F(zs)|.

Как оказалось, во многих случаях при помощи e1,…e4 можно произвести довольно удачную классификацию точек zi. Один из результатов приведен на рис. 3. Точками показаны "хорошие" точки, а крестиками – "плохие". Область русла выделяется довольно просто. Таким образом мы получаем область хорошей предсказуемости для нашего ряда и простое правило для проверки принадлежности ему вектора z. Можно сделать вывод, что по крайней мере в некоторых ситуациях подход русел и джокеров может оказаться полезным.