3.9. Мультипликативный процесс

3.9. Мультипликативный процесс
В завершение темы опишем еще один формальный механизм появления СЗРВ, который, как и критический ветвящийся процесс, не будучи самоорганизованным, позволяет, однако, получить более полное представление о природе масштабной инвариантности.

Широкий класс процессов, связанных с воспроизводством, может быть описан отображением вида

, (29)

коэффициент которого kt детерминированным или случайным образом зависит от номера шага времени t (мы ограничимся рассмотрением чисто случайного k). Отображение (29) называется мультипликативным процессом и возникает в тех случаях когда состояние системы (численность популяции, стоимость портфеля акций, число заболевших при эпидемии и т.п. на шаге t+1 зависти от состояния на шаге t и общей обстановки на этом шаге, описываемой коэффициентом k.

Данное отображение удобно рассматривать в логарифмическом представлении

, (30)

введя обозначения xt = ln xt и kt = ln kt. Поскольку xt представляет собой сумму независимых случайных величин, при достаточно больших t она будет нормально распределена (а xt будет, соответственно, иметь логнормальное распределение) с параметрами, зависящим от t Распределение оказывается нестационарным, поскольку, как легко видеть, x ® 0 при v = бkс < 0 и x ®  при v > 0. Чтобы добиться стационарности необходимо дополнить отображение (29) правилом, "не подпускающим" x к его предельному значению. Если ограничиться случаем v < 0 (случай v > 0 сводится к нему рассмотрением вместо x и k обратных величин), то речь идет об отталкивании от нуля, которое обычно объясняется дискретной природой процесса или действием механизмов, препятствующих вырождению.

Отталкивание от нуля можно ввести многими, например, заменив (29) на

, (31)

где bt – небольшая положительная детерминированная или случайная добавка (в этом случае, как легко видеть, бxс = бbс/(1бaс) либо на

, (32)

т.е. не позволяя xt опускаться ниже некоторого значения c (без потери общности можно считать, что каждый раз, когда xt падает ниже c, начинается новый процесс с x0 = c). Кроме того будем предполагать, что несмотря на ограничение v < 0, коэффициент отображения k с заметной долей вероятности принимает значения больше 1, т.е. что x может расти не только за счет введенного отталкивания от нуля, но и "естественным" образом.

В отличие от отображения (29) отображения (31) и (32) характеризуются экспоненциальным стационарным распределением p(x) и, соответственно, степенным p(x).

Если обозначить через p(k) распределение вероятностей смещения k, для p(x), можно записать рекуррентное соотношение

, (33)

разложив в котором p(xk)в ряд по степеням k до второго члена, получаем

, (34)

где T = бk2с/2. Можно убедиться, что стационарное решения уравнения (34) при условие ограниченности x снизу имеет вид

, (35)

что приводит к степенному виду (2) для распределения p(x) с

. (36)

Этот результат легко можно получить и без вычислений, поскольку уравнение (34) описывает частицу, находящуюся в ограниченном слева линейном потенциале напряженности v при температуре T. Как известно, плотность вероятности в этом случае описывается распределением Больцмана (35).

Формула (36) для показателя распределения является приближенной. Чтобы найти выражение для точного значения, подставим распределение (35) в формулу (33)

.

Откуда получаем уравнение бeakс є бkaс = 1.

Здесь необходимо обратить внимание на два обстоятельства, делающих мультипликативный процесс более адекватным образом самоорганизованно критических явлений, чем устойчивые законы распределения или ветвящиеся процессы:

1) в отличие от первых, характеризуемых значениями a Ј 2, СЗРВ, порождаемые мультипликативным процессом, могут иметь любые положительные a;

2) в отличие от вторых, которые характеризуются чистым СЗРВ только при единичном коэффициенте размножения, мультипликативный процесс описывается распределениями с тяжелыми хвостами и при бkс отличном от 1 (причем показатель, вообще говоря, отличается от a = 1/2, присущего ветвящимся процессам).

Последнее обстоятельство особенно важно, поскольку отображение (29) в каком-то смысле тоже представляет собой ветвящийся процесс, когда на очередном шаге происходит превращение каждой частицы в k частиц. Однако существенным обстоятельством здесь является то, что флуктуации величины k действуют одновременно на все делящиеся частицы. В то время как для обычного ветвящегося процесса флуктуации независимы для каждой делящейся частицы. Поэтому, если для него математическое ожидание числа частиц, получающихся при делении одной частицы, обозначить через m, а его дисперсию через D, то математическое ожидание числа частиц, получающихся при делении x частиц, есть xm, а дисперсия – xD.

Если попытаться представить шаг ветвящегося процесса в виде (29), то математическое ожидание и дисперсия коэффициента k будут равняться значениям этих величин для ветвящегося процесса, отнесенным к одной частице, т.е. m и D/x, соответственно. Таким образом, чем больше число частиц, делящихся на некотором шаге, тем более узким будет распределение для коэффициента k, описывающего этот шаг в терминах мультипликативного процесса (самоусреднение). А поскольку коэффициент размножения m < 1, то для достаточно больших x дальнейшее увеличение числа частиц становится практически невероятным, что и приводит к нарушению степенного вида закона распределения для некритического ветвящегося процесса.

Ситуацию, однако, можно "выправить", если поставить параметры ветвящегося процесса в зависимость от числа делящихся частиц, т.е. позволить частицам "чувствовать" друг друга, например, следующим образом. Пусть когда имеется x частиц, каждая из них с вероятностью qx = m/x превращается в x частиц, а с вероятностью px = 1qx – распадается. Тогда математическое ожидание и дисперсия для коэффициента k равны, соответственно, m и mm2/x, т.е. при больших x зависимостью k от x можно пренебречь и получается обыкновенный мультипликативный процесс, описываемый СЗРВ.

Сформулированные правила ветвящегося процесса можно интерпретировать как индуцированный риск, т.е. проблемы, порождаемые уже имеющимися, причем в количестве пропорциональном их числу. Именно такое целостное поведение и типично для критических систем, однако не следует забывать, что установка параметров ветвящегося или мультипликативного процесса в значения, создающая условия для появления степенных зависимостей с определенными показателями, происходит путем самоорганизации на основе локальных правил. Т.е. мультипликативный процесс можно рассматривать для описания механизма появления степенных зависимостей, но не для объяснения их природы.