3.8. Управление критичностью. Модель гекатонхейров[10]

3.8. Управление критичностью. Модель гекатонхейров[10]
Весьма важным, хотя и малоизученным, является вопрос о возможности управления свойствами критических систем. Оговоримся, что здесь не имеется в виду управление тем, находится ли система в критическом состояние или нет. Теоретически разрушить критичность несложно, но тем самым мы из сложной системы сделаем простую. На практике это означает либо, что подобная операция просто невыполнима, либо то, что, проделав ее, мы выплеснем вместе с водой и младенца, лишив систему возможности функционировать. Поэтому интерес для исследования представляет вопрос, можем ли мы управлять поведением системы в критическом состоянии?

Под "управлением" здесь понимается воздействие на значения показателей распределений, которые определяют то, в какой степени сложная система является катастрофичной. Управление критическими системами представляет собой нетривиальную задачу. Дело в том, что критические системы обыкновенно являются грубыми, т.е. набор характеризующих их показателей не меняется при незначительном изменении правил. Более того, зачастую совершенно разные по совей природе и правилам модели имеют один и тот же набор показателей. В таком случае говорят, что эти модели попадают в один класс универсальности.

Кроме грубости критических систем наши возможности по управлению ими существенно ограничиваются их сложностью. Мы можем воздействовать либо на всю систему в целом (меняя, скажем, ее статистические характеристики типа температуры), либо на некоторое число ее отдельных элементов. Примером первого подхода может служить OFCмодель, для которой, научившись (на практике, конечно, а не в компьютерной программе) менять степень сохранения q, мы смогли бы варьировать показатель распределения a.

Второй подход удалось реализовать в так называемой модели с защитой минимумов, или модели гекатонхейров, являющейся обобщением модели Снеппена освобождения поверхности.

Пронумеруем в модели Снеппена все значения цепляющей силы на поверхности в порядке их возрастания начиная с нуля: h0, h1, h2,… В то время как в модели Снеппена для продвижения всегда выбирался участок с минимальной цепляющей силой, т.е. номером 0, мы будем продвигать nый участок, считая минимумы с нулевого по (n1)й защищенными от продвижения.

Это можно воспринимать как наличие некоего nрукого агента (гекатонхейра), который отслеживает положение n участков с наименьшей цепляющей силой и придерживает их, что называется, руками, препятствуя продвижению.

Такая модификация правил, очевидно, не окажет влияния ни на показатель распределения лавин a ни на их размерность D. Однако этого нельзя сказать в отношении показателя полетов Леви p. На рис. 8 приведены графики распределения полетов точки активации при различных n. Легко видеть, что наклон графика уменьшается с ростом n.

Это легко объяснимо. До тех пор пока при продвижении соседей защищенные участки не затрагиваются, практически не имеет значения, какой по счету минимум выбирается для активации, поскольку защищенные участки исключены из динамики и можно считать, что их как бы и нет. Однако, как только какой-то из них из-за условия ограниченности градиента подвергся продвижению, тождественность модели Снеппена и модели гекатонхейров нарушается. Это происходит потому, что продвинутый элемент получает новое значение цепляющей силы, а при этом могут измениться порядковые номера минимумов и активизации на следующем шаге подвергается совсем не тот элемент, который активизировался бы при аналогичных обстоятельствах в модели Снеппена. Таким образом, к обычным полетам Леви добавляются скачки положения активности, когда гекатонхейр "перехватывает руки" из-за того, что в них оказалось не то, что ему следует держать. И чем большую долю участков ему приходится удерживать, тем чаще это будет происходить.

Рис. 8. Распределение вероятностей полетов Леви точки активации

Графики (снизу вверх) соответствуют n=0,1,3,15,63,255 для системы с L = 16384 с усреднением по 500 млн шагов. Некоторое закругление вверх графиков при больших r обусловлено тем, что данные "складываются" из-за невозможности отличить полет длиной r от полета длиной Lr

В силу сказанного понятно, что показатель распределения полетов p должен зависеть не непосредственно от n, а от величины u = n/L (где L – размер системы), определяющей "плотность рук". Варьируя величину u, мы можем непрерывно менять значение одного из критических показателей модели, не изменяя при этом остальных, которые определяют ее принадлежность к тому же классу универсальности, что и направленная перколяция и модель Снеппена. Это явление получило название мягкой универсальности в котором подчеркивается отличие от обычной – грубой – универсальности, присущей большинству критических систем.

В заключение отметим еще одно существенное и любопытное обстоятельство. При u* » 2,5Ч105 значение p проходит через двойку. Это значит, что при меньшей "плотности рук" средняя длина полета точки активации

(28)

не зависит от размеров системы, в то время как при большей она становится порядка L (т.к. интеграл (28) сходится лишь благодаря нарушению зависимости (25) при r ~ L). А это уже не количественное, а качественное изменение поведения.

Модель гекатонхейров легко допускает разнообразные интерпретации. Например, она отражает работу системы безопасности или охраны порядка в условиях нерешительности и нехватки ресурсов. Попытка удерживать руками наиболее опасные участки приводит к прорывам на тех участках, на которые рук не хватило. Если прорывы индуцируются внешними условиями, то такая защита будет иметь своим следствием лишь изменение географии событий. Показатель распределения полетов активности будет тем меньше, чем больше будет плотность держащих рук. А доведя уровень последней до значения u*, мы увидим, что события, которые до того были худо-бедно локализованы (рассчитывать на "хорошую" локализацию для точки, совершающей полеты Леви с p < 3, очевидно, не приходится[11]), стали происходить повсюду. Качественная аналогия очевидна, а вот вывод нетривиален: если все плохо, не трогай – лучше не станет, только расползется.