3.7. Экстремальные модели. Освобождение поверхности

3.7. Экстремальные модели. Освобождение поверхности
Особенностью правил практически всех СКмоделей является выбор для изменения на очередном шаге элементов, имеющих экстремальное (минимальное или максимальное) значение. Для BSмодели, а также модели разрыва пучка волокон и модели блоков и пружин экстремальность прописана в правилах явно (исчезает наименее приспособленный вид, рвется наименее прочное волокно, первым начинает двигаться наиболее удаленный от положения равновесия блок). Однако правила и других рассмотренных нами моделей тоже в той или иной степени являются экстремальными – в модели лесного пожара вероятность возгорания кластера пропорциональна его размеру, в моделях типа кучи песка и FFмодели устойчивость теряют ячейки, значения которых превысили порог, т.е. стали заведомо больше значений остальных ячеек и т.д.

Такой "экстремизм" исследователей, создававших самоорганизованно критические модели – это не прихоть или дань традиции, а отражение общих принципов устройства сложного. Чтобы система могла самоорганизовываться в критическое состояние, оно должно быть в каком-то смысле притягивающим. Однако оно не может быть положением статического равновесия, поскольку малые внешние воздействия в его окрестности не могут вызывать больших откликов. Т.е. система должна пребывать в динамическом равновесии, которое возникает как результат противоборства двух противонаправленных тенденций[9]. Обыкновенно, одна из них – это некий естественный путь развития системы, а вторая – отбраковка (с возвращением к началу пути) элементов продвинувшихся по нему слишком далеко, т.е. экстремальное правило. При этом существенно, что такая отбраковка продвигает в развитии другие элементы системы благодаря наличию между ними (локального) взаимодействия.

Наклон кучи увеличивается за счет добавления песчинок, что вызывает лавины, уменьшающие его. Деревья растут, увеличивая способность леса проводить огонь – вспыхивают пожары, уничтожающие деревья. Блоки, на которые действует нарастающая сила, соскальзывают, возвращаясь к положению равновесия, увеличивая нагрузку на соседние блоки. Эволюция, идущая путем проб и ошибок, порождает плохо приспособленные виды, которые исчезают, вынуждая к дальнейшей эволюции связанные с ними виды…

Таким образом, происходит динамическая стабилизация системы. Однако для стабилизации именно в окрестности критической точки, где локальное взаимодействие может привести к целостному поведению, необходимо, чтобы скорость отбраковки (релаксации) была много больше развития (возмущения), т.е. необходимо разделение временных масштабов. Как правило, оно также достигается благодаря экстремальным правилам, что, собственно говоря, и позволяет на их основе строить простые СК-модели.

Поясним сказанное на примере процесса освобождения поверхности (interface depinning), происходящего при вытеснения воздуха жидкостью в пористой смачиваемой среде. Здесь имеет место противоборство между зацеплением границы раздела фаз за дефекты среды и давлением, проталкивающим жидкость через поры, вынуждая ее освобождаться в тех точках, где цепляющая сила (pinning force) невелика. Роль локального взаимодействия играет поверхностное натяжение, стремящееся уменьшить площадь границы раздела.

Зависимость скорости продвижения жидкости от давления дается формулой V ~ (p – pc)n, характерной для фазовых переходов II рода. Чтобы произошла самоорганизация в критическое состояние, необходимо установить параметр порядка – скорость – в значение +0, что соответствует критическому давлению pc, при котором движение поверхности имеет характер отдельных "рывков", вызываемых флуктуациями. При этом, естественно, наибольшие шансы на освобождение имеет тот участок, на который действует наименьшая цепляющая сила.

Таким образом, не составляет труда описать правила клеточного автомата для процесса освобождения поверхности, называемого моделью Снеппена. В одномерном случае система характеризуется положением участков поверхности hi и значениями действующей на нее в точках (i,hi) цепляющей силы f(i,hi), которые можно в простейшем случае считать некоррелированными случайными числами.

Шаг моделирования состоит в нахождении участка i с минимальной цепляющей силой f(i,hi) и продвижении на этом участке поверхности на одну единицу: hi ® hi+1. При этом поверхностное натяжение учитывается следующим образом (условие Кима-Кострелица, если для какого-то участка поверхности оказалось hj < hj±11, то участок j продвигается до тех пор, пока это неравенство не нарушится (т.е. пока не будет выполнено |Сh| Ј 1 для всех участков поверхности). Все участки поверхности, подвергнувшиеся продвижению, получают новые случайные значения цепляющей силы, выбираемые из некоторого распределения.

Правила BSмодели и модели Снеппена практически идентичны – единственное различие состоит в механизме локального взаимодействия. Если в первой ближайшие соседи наименее приспособленного вида в любом случае исчезают вместе с ним, то во второй продвигаются лишь "отстающие" участки поверхности (зато не только непосредственно примыкающие к экстремальному участку, но, возможно, и следующие за ними). Эту особенность правил модели Снеппена с эволюционной точки зрения можно трактовать как принудительную "модернизацию" тех элементов, соседи которых ушли вперед более, чем на одно поколение.

Как показывают данные моделирования (см. табл. 1), это приводит к несколько большему по сравнению с BSмоделью значению показателя a, характеризующего распределение лавин по размерам, что означает некоторое их уменьшение. Кроме того, заметно меньше становится показатель распределения полетов Леви p, т.е. активность значительно сильнее "скачет" по системе, нежели в случае эволюции. Это обусловлено тем, что правила не позволяют участкам поверхности слишком долго оставаться неподвижными и активность вынужденно посещает все новые и новые участки.

Как и в случае модели эволюции лавина определяется как последовательность шагов между моментами, когда все участки поверхности имеют цепляющую силу f > fc. Такие участки, для освобождения которых недостаточно давления на жидкость и необходимы флуктуации или воздействие со стороны соседних участков, уместно назвать блокирующими. Поскольку система находится в критическом состоянии, их концентрация равна порогу направленной перколяции (здесь наблюдается прямая аналогия с концентрацией МЭУ для кучи песка). В самом деле, если мы уменьшим концентрацию блокирующих участков (увеличим давление), то они перестанут образовать связный кластер, способный остановить поверхность, и последняя будет двигаться с ненулевой скоростью. Если мы увеличим их концентрацию (уменьшим давление), то флуктуаций будет уже не достаточно для освобождения участков даже с минимальной цепляющей силой, и поверхность не будет двигаться вовсе.

Таким образом, модель Снеппена можно рассматривать как модель самоорганизованной направленной перколяции. Характеристики направленной перколяции, однако, хорошо известны. Так, например показатель шероховатости c, определяющий зависимость ширину поверхности w(l) = (бh2сбhс2)1/2 ~ l c от размера участка l, равен 0,633±0,001.

Поскольку размер лавины s есть ни что иное, как объем "заметаемый" поверхностью, его можно представить как s ~ lЧw(l) ~ l1+c, где l – число затронутых лавиной участков. Т.е. размерность лавин D = 1+c = 1,633 в полном согласии с данными, приведенными в табл. 1