3.5. Модель лесного пожара

3.5. Модель лесного пожара
Процесс роста деревьев и возникновения пожаров в лесном массиве может быть качественно промоделирован при помощи клеточного автомата с тремя состояниями: растущее дерево, горящее дерево и пепел, которые циклически переходят друг в друга по следующим правилам (за один шаг времени) из пепла с вероятностью p вырастает новое дерево;

- растущее дерево самопроизвольно загорается вероятностью f, если у него нет ни одного горящего соседа;

- дерево, имеющее хотя бы одного горящего соседа, загорается с вероятностью 1g;

- горящее дерево превращается в пепел.

В зависимости от значений параметров p, f и g модель может демонстрировать различные типы, но нас будет интересовать лишь тот диапазон параметров, при котором она самоорганизуется в критическое состояние. Кроме того, для простоты мы ограничимся пока случаем g = 0, т.е. деревья не имеют устойчивости к возгоранию от горящих соседей.

Отношение q = p/f служит мерой числа деревьев, вырастающих за время между двумя возгораниями. Поэтому достаточно большие кластеры растущих деревьев могут сформироваться только при q >> 1. Вместе с тем, чтобы пожары не могли продолжаться неограниченно долго, необходимо, чтобы время роста новых деревьев 1/p было много больше времени выгорания самых больших кластеров Tmax, которое при q ®  расходится как Tmax ~ qn, где n – некоторый положительный показатель. Таким образом, получаем условие двойного разделения временных масштабов

,

при выполнении которого модель лесного пожара демонстрирует критическое поведение. Отметим, что модели типа кучи песка для самоорганизации в критическое состояние предполагают простое разделение временных масштабов (время между добавлением песчинок много больше времени релаксации). Однако поскольку на практике удобно полагать, что кластер деревьев, внутри которого произошло возгорание, сгорает мгновенно, условие ограниченности пожаров во времени выполняется автоматически.

Обозначим плотности растущих и горящих деревьев и пепла как rt, rf и ra, соответственно. За один шаг на поле площади S вырастает Spra деревьев и происходит Sf rt самопроизвольных возгораний, каждое из которых выжигает кластер средним размером бsс. В стационарном состоянии средние числа вырастающих и сгорающих деревьев должны быть равны, откуда

. (24)

Здесь мы воспользовались очевидным соотношением rt+rf+ra = 1 и пренебрегли плотностью горящих деревьев по сравнению с плотностью растущих.

Из формулы (24) следует, что предельная плотность деревьев

должна быть строго меньше единицы. В противном случае rt будет очень близка к единице уже при конечных q, при этом крупнейший кластер деревьев будет содержать конечную долю всех растущих на поле деревьев. А значит, бsс будет неограниченно возрастать при S ®  при фиксированном q, что противоречит (24). Таким образом, пепелища всегда будут занимать конечную долю площади леса.

Согласно результатам компьютерного моделирования распределение кластеров по размеру имеет вид n(s) ~ s2,15. Поскольку вероятность возгорания внутри кластера пропорциональна его размеру, вероятность пожара площади s есть n(s)s ~ s(1+0,15).

При наличии у деревьев ненулевой устойчивости к возгоранию их кластеры выгорают уже не полностью. По мере роста g возрастает и плотность живых деревьев rt, достигая единичного значения при некотором gc. При малых g распространение огня ограничивается лишь размерами кластеров живых деревьев, а при значениях g, близких к gc, распространения огня носит перколяционный характер, больше напоминающий не пожар, а тление.

Вообще говоря, данная модель не очень хорошо описывает статистику реальных лесных пожаров, для которых a » 0,59 что заметно больше величины, получающейся в модели. Наблюдающееся на практике более высокое значение a, означающее меньший размер пожаров, обусловлено, на наш взгляд, как факторами, мешающими распространению огня (реки, шоссе, поля и т.п.), так и усилиями по тушению пожаров.

Модели лесного пожара легко можно придать множество интерпретаций, поскольку описанная схема является частным случаем процесса, происходящего в возбудимой среде, элементы которой могут находиться в одном из трех состояний: покой (растущее дерево), возбуждение (горящее дерево) и невосприимчивость (пепел). Возбуждение распространяется от соседа к соседу, при условии, что он находится в состоянии покоя. После возбуждения элементам среды требуется некоторое время на "восстановление сил", которое они проводят в состоянии невосприимчивости.

Под эту схему попадают, например, социальные события, особенно восстания и революции. Наиболее активные их участники в конце концов оказываются либо убиты (те, кому не суждено погибнуть в столкновениях с властями, попадают под нож гильотины, когда «революция пожирает своих детей»), либо "выходят в тираж", сделав карьеру в новых условиях («задумывают революцию романтики, довершают прагматики…») или просто разочаровавшись в ней («…а ее плодами пользуются циники»). При этом до новых волнений и бунтов должно вырасти новое поколение людей, готовых в них участвовать.

Модель лесного пожара дает также хорошую аналогию с такими историческими событиями, как войны и эпидемии. Пожар, захвативший некоторую территорию, приводит к тому, что ее ячейки оказываются в одинаковых условиях, т.е. синхронизованными. При этом они в дальнейшем развиваются сходным образом и имеют тенденцию снова вспыхивать одновременно. Эпидемии и войны, разрушая привычный уклад жизни и опустошая значительные территории, также приводят к синхронизации, примерами которой могут служить послевоенное развитие Германии и Японии или объединение Руси под властью Москвы после эпидемии чумы XIV века и Куликовской битвы.