3.4. Модель разрыва пучка волокон

3.4. Модель разрыва пучка волокон
В отличие от описанных выше моделей, являющихся примерами катастрофического поведения и позволяющих проанализировать и понять его природу, модель пучка волокон служит, скорее, образом отдельно взятой катастрофы.

Рассмотрим пучок из N параллельных волокон, к которому приложено равномерно распределяемое между ними усилие F. Каждое волокно характеризуется значением порога прочности s, при превышении которого оно разрывается. При этом усилие мгновенно перераспределяется между оставшимися волокнами, что приводит к росту нагрузки на них. Последняя вновь может превысить прочность некоторых волокон, спровоцировав новые разрывы и т.д. После завершения лавины разрывов усилие, приложенное к пучку, повышается до тех пор, пока вновь не будет превышен порог прочности одного из волокон. Напрашивается интерпретация модели как описания аварии электроснабжения с последовательным выходом из строя подстанций при чрезмерной нагрузке. Менее очевидна аналогия с развитием экономического кризиса. Когда производитель какого-либо товара сталкивается с падением объемов продаж, чтобы выправить положение, он либо сокращает издержки, уменьшая зарплату или увольняя часть персонала, либо начинает поставлять товары в кредит, "занимая деньги у будущего". Любое из этих действий приводит к сокращению базы платежеспособного спроса, т.е. к уменьшению объемов продаж у всех производителей, которые в результате "рвутся" подобно волокнам в пучке.[8]

То, как происходит разрыв волокон по мере роста приложенного усилия, существенно зависит от степени неоднородности пучка. Пусть прочность волокон описывается функцией распределения P(x) = Prob{s < x}, тогда пучок содержит в среднем n = N[1  P(s)] волокон прочности не менее s, способных выдержать суммарное усилие F = sn. Таким образом, разрыв волокон прочности s будет наступать при достижении усилием значения

. (21)

Если функция распределения P такова, что выражение (21) имеет максимум в некоторой точке sc > 0, то вблизи нее значение разрывающего усилия можно аппроксимировать формулой

. (22)

При этом необходимая для выживания прочность волокна расходится при F ® Fc как

, (23)

т.е. Fc является критической точкой. В ее окрестности на повышение приложенного усилия пучок будет отвечать разрывом числа волокон, распределенного степенным образом. И лишь после того как F несколько превысит Fc, произойдет разрыв всех оставшихся волокон – полное разрушение.

Динамика разрыва будет, однако, совершенно иной, если функция (21) не имеет максимума. При этом полное разрушение произойдет практически сразу по достижении приложенным усилием некоторого критического уровня. Оно будет внезапным – ему будет предшествовать, возможно, только несколько единичных разрывов. Поясним приведенные рассуждения на примере. Пусть волокна равномерного распределены по прочности между a и 1, т.е. P(x) = x/(1a). Легко убедиться, что для данного распределения выражение (21) имеет максимум на интервале (a;1) только если a < a0 = 0,5. На рис. 7 показаны графики распределения разрывов, возникающих в результате увеличения усилия, по числу волокон при различных a. Видно, что когда a << a0, распределение характеризуется значением a = 3/2, однако по мере приближения a к a0 происходит переход к распределению с a = 1/2. Необходимо также отметить, что при увеличении a уменьшается как доля волокон, которые разрываются до наступления полного разрушения, так и число событий разрыва.

Рис. 7. Распределение числа порвавшихся волокон при различных a

Видно, что по мере приближения а к a0=0,5 появляется все более длинный участок графика с наклоном –1,5, в то время как при малых a наклон составляет –2,5. Для сравнения изображены прямые с указанными наклонами. Данные усреднены по 100 000 реализаций для модели с N = 220.

Это означает, что при высокой степени неоднородности пучка (a << a0) система в течение долгого времени проходит через длительный ряд аварий (a < 1), служащих предвестниками грядущего полного разрушения, которое в конце концов и происходит, если меры по остановке роста приложенного усилия так и не были предприняты. В случае достаточно однородных волокон (a близко к a0) полному разрушению предшествует лишь некоторое количество катастрофических событий (a > 1), которые полностью исчезают при a > a0. Таким образом, варьируя степень однородности в системе, которая должна противостоять потенциальным нагрузкам, возможно направить ее поведение по одному из этих двух сценариев.

Завершая обсуждение этой модели, поясним происхождение получающихся распределений

Формула (23), определяющая величину усилия, разрывающего волокна прочности s, является, разумеется, усреднением. Для конкретного набора волокон величина F(s) будет флуктуировать вокруг даваемых ей значений. При этом может оказаться, что хотя функция (23) при s < sc является строго возрастающей, F(s) в какой-то точке s1 начинает убывать так, что на некотором промежутке (s';s'') будет выполнено неравенство F(s) > F(s'). Это обстоятельство, собственно говоря, и вызывает лавину разрывов, поскольку как только прочность, необходимая для того, чтобы волокно уцелело, станет больше s1, все волокна c s Ј s'' разорвутся уже без увеличения приложенного усилия.

Увеличение или уменьшение F(sk) от волокна k к волокну k+1 можно аппроксимировать шагом ветвящегося процесса (задача о разорении азартного игрока), для коэффициента размножения которого m выполнено

,

откуда с учетом формулы (23) и того обстоятельства, что при равномерном распределении волокон по прочности dk ~ ds, получаем

.

Если F меняется слабо, то вероятность разрыва k волокон согласно (5) есть p(k) ~ k3/2eb(F)k, где b(F) ~ (1m)2 ~ FcF в соответствии с формулой (6). Таким образом, при F близком Fc (что означает высокую однородность пучка) получаем p(k) ~ k3/2. Если же F далеко от Fc, (неоднородный пучок), то для получения вида p(k) необходимо провести усреднение по F, которое дает

.