3.3. Прерывистое движение. Модель блоков и пружин

3.3. Прерывистое движение. Модель блоков и пружин
Рассмотренная выше OFC-модель возникла как одно из приближений другой модели – модели прерывистого движения (stick-slip), возникающей в сейсмологии и призванной описывать движение тектонических плит в зоне разлома. Одна из плит представляется в модели неподвижной шершавой подложкой (рис. 6б), вдоль которой скользит с трением другая плита.

Рис. 6. Представление тектонических плит системой блоков и пружин

а) вид в плоскости плит – блоки соединены пружинами жесткости kx и ky с ближайшими соседями;

б) вид сбоку – блоки, соответствующие одной из соприкасающихся плит, расположены на шероховатой подложке, соответствующей другой плите, привод осуществляется от медленно движущейся пластины, связанной с блоками посредством часовых пружин жесткости k'.

Движущаяся плита, внутри которой действуют упругие силы, представляется системой блоков и пружин, изображенной на рис. 6а. Кроме того предполагается, что она приводится в движение равномерно движущейся платформой при помощи упругих связей, как показано на рис. 6б. Если бы подложка была гладкой и между ней и блоками не было трения, то движение происходило бы непрерывно, однако, поскольку трение присутствует, то движение происходит скачками. Когда сила, приложенная к какому-то из блоков, превышает силу трения покоя между ним и подложкой, блок начинает двигаться. При этом вектор силы, с которой он действует на соседние блоки, получает приращение в направлении движения и, соответственно, возрастает их отклонение от положений равновесия. В результате они тоже могут прийти в движение.

Динамика этой системы описывается правилами OFC-модели при следующих предположениях:

- kx = ky = k, т.е. система изотропна;

- движущиеся блоки останавливаются, лишь достигнув положения равновесия;

- положение равновесия достигается мгновенно, т.е. нет инерции;

- блоки не имеют смещений вдоль оси y, перпендикулярной направлению движения.

Действительно, если обозначить через dxij смещение блока, имеющего номер i по оси x и j – по y, относительно положения равновесия, то действующая на него сила есть Fij = (4k + k')dxij. Если она превышает силу трения покоя, то блок движется до тех пор, пока dxij не станет равным нулю. При этом сила, действующая на соседние блоки, увеличится на

. (20)

Формула (20) представляет собой правила осыпания OFC-модели с q = 4 / (4k + k'), которая, таким образом, может интерпретироваться как модель сейсмического разлома.

Вообще говоря, модель блоков и пружин существенно шире, чем OFC-модель, при выводе правил которой были сделаны упрощающие предположения. Однако она и существенно сложнее для исследования, поскольку описывается не клеточным автоматом, а системой многих дифференциальных уравнений, описывающих движение каждого блока с учетом его инерции, зависимости силы трения от скорости и других особенностей. При этом возникают обычные неудобства, присущие непрерывному описанию: требовательность к памяти и быстродействию, чувствительность к деталям правил, сложность интерпретации результатов, многочисленность параметров и т.д.

В силу этого продуктивные попытки исследования модели блоков и пружин имели место, насколько нам известно, лишь для одномерного варианта, соответствующего случаю ky = 0, и на не очень больших системах. Не обсуждая их подробно, отметим лишь то, что, как и следовало ожидать, в определенном диапазоне параметров модель прерывистого движения демонстрирует самоорганизованно критическое поведение. Показатель распределения событий, вообще говоря, зависит от значений параметров и деталей модели. Кроме того, его точное определение затруднено тем, что в области больших значений распределение имеет "горб", соответствующий событиям, в которые вовлекается вся система целиком.

Последнее обстоятельство характерно для систем, в которых велика роль инерции, и лавина, достигшая определенного уровня, становится самоподдерживающейся и достигает краев системы. Собственно говоря, именно так происходит развитие лавин в реальных кучах песка, которые, начиная с определенных размеров, перестают демонстрировать критическое поведение, на смену которому приходят периодически повторяющиеся глобальные события. Однако если подавить инерцию, как это имеет место, например, для кучи риса или снежных лавин, то критическое поведение наблюдается на практике при любых размерах системы.