2.2. Критичность и целостность

2.2. Критичность и целостность
Факт целостности системы имеет простое математическое выражение в терминах пространственных и временных корреляций. Они определяют вероятность некоторого события – скажем, осыпания ячейки – в некоторой точке r в момент времени t при условии, что такое же событие произошло в известном месте в известное время (для определенности – в начале координат в нулевой момент)

.

В простых системах корреляции убывают экспоненциально, т.е. G(r,t) ~ er/ret/t. При этом элементы системы "чувствуют друг друга" и "помнят свое прошлое" лишь на конечных характерных расстояниях r ~ r и временах t ~ t. Модели кучи песка, напротив, присуще степенное убывание функции G о котором говорят как о дальних пространственных и временных корреляциях, подразумевая отсутствие характерных длин и времен, на которых бы утрачивалась информация о происходящих рядом или предшествующих событиях.

Появление дальних корреляций является принципиальным обстоятельством, означающим, что система с локальными правилами (элементы которой способны лишь к взаимодействию со своими ближайшими соседями) демонстрирует глобальное поведение. Т.е. у системы появляются свойства, которых не было у ее составных частей. Сложное может возникать из простых элементов в результате самоорганизации.

Ключевое слово здесь именно "самоорганизация", поскольку, вообще говоря, дальние корреляции и другие описанные выше свойства сложных систем типичны для так называемых критических явлений, представителями которых служат бифуркации и фазовые переходы II рода.

Рассмотрим, например, фазовый переход парамагнетик-ферромагнетик. Атомы многих элементов обладают собственными магнитными моментами – спинами. В ферромагнетиках за счет взаимодействия спины соседних атомов стремятся выстроиться в одном направлении, чему, однако, противодействуют тепловые флуктуации. При высокой температуре флуктуации доминируют и спины ориентированы хаотически, так что на макроскопическом масштабе их вклады в намагниченность образца взаимно усредняются, и ведет себя как парамагнетик. По мере снижения температуры начинают образовываться области одинаково ориентированных спинов (магнитные домены), характерный размер которых при некоторой критической температуре становится бесконечным (точка Кюри). В этот момент у образца появляется спонтанная намагниченность (система спинов начинает вести себя как единое целое), которая будет тем больше, чем ниже температура (и, соответственно, чем большая доля спинов ориентирована в одном направлении).

Ничто не мешает нам построить критическую систему и на "песочной" основе. Возьмем цилиндрический барабан с горизонтально ориентированной осью, насыплем в него некоторое количество песка и приложим к этой конструкции вращающий момент. Чтобы его скомпенсировать, барабан провернется так, что поверхность песка отклонится от горизонтали. Если угол наклона будет невелик, то система окажется в состоянии равновесия, однако если он будет превышать некоторое критическое значение, то возникнет непрерывный ток песка, который будет тем больше, чем больше отклонение от критического угла.

Таким образом, параметр порядка (намагниченность или ток песка) начинает принимать ненулевое значение при переходе управляющего параметра (температура или угол наклона поверхности) через критическое значение, что означает появление у системы целостных свойств. Критическая точка разделяет хаотическое (докритическое) и упорядоченное (сверхкритическое) состояния, поэтому в ней любое малое воздействие может оказать существенное влияние на систему. В ней и только в ней, поскольку в хаотической фазе (высокая температура или малый наклон) оно еще быстро затухает в пространстве и времени, а в упорядоченной (низкая температура или большой наклон) – уже не может ощутимо повлиять на сложившуюся структуру системы.

Однако в самой критической точке малые причины могут приводить к большим следствиям. Направление спонтанной намагниченности ферромагнетика определяется случайными факторами, действовавшими на него в точке фазового перехода и сориентировавшими в определенном направлении небольшую, но достаточную для появления выделенного направления, долю спинов. Аналогично, хотя на поверхности песка при критическом угле наклона еще нет спонтанного тока, одна добавленная песчинка может вызвать лавину любого размера.

При описании поверхности песка в терминах минимально устойчивых элементов управляющим параметром служит их концентрация, а параметром порядка – вероятность того, что некоторая ячейка принадлежит к бесконечно большому кластеру из них, т.е. что воздействие на нее распространится на бесконечное расстояние. В докритическом состоянии (концентрация МУЭ меньше порога перколяции) изменение состояния одного элемента сказывается лишь на конечном масштабе порядка среднего размера кластера. В сверхкритическом состоянии бесконечный кластер МУЭ содержит конечный процент ячеек системы и, обладая дублированной связностью, "не ощущает" замену обычного элемента на МУЭ, и наоборот. Но в критической точке, где бесконечный кластер только появляется, он "едва связан", и малые изменения могут нарушить его связность или, наоборот, создать ее.

Словечко "едва", как нам кажется, исключительно точно описывает критическое поведение: перколяционный кластер в критической точке едва связан, песок в стационарном режиме BTWмодели едва движется по куче (в среднем одна песчинка за ход), ветвящийся процесс, описанный в §1, является критическим при единичном коэффициенте размножения, т.е. когда процесс едва выживает, и т.д.

Критические явления представляют собой "момент отрыва" параметра порядка от нулевого значения, который происходит при точной установке управляющего параметра в критическое значение. В естественных условиях – за пределами лаборатории – некому заниматься подстройкой управляющих параметров, поэтому сами по себе критические явления не позволяют объяснить возникновение сложности в природе и не могут служить для описания катастроф.

Однако вместо того чтобы подстраивать управляющий параметр к a priori неизвестной величине, можно установить параметр порядка в значение +0, что заставляет управляющий параметр уже самостоятельно принять критическое значение. Иначе говоря, вместо того, чтобы крутить ручку прибора, можно начать сдвигать с нулевой отметки стрелку на его шкале, вынуждая ручку повернуться до нужного положения Такое управление параметром порядка обыкновенно достигается при помощи разделения временных масштабов при котором время релаксации системы много меньше времени между последовательными возмущениями, т.е. когда события едва-едва происходят.

Именно это и имеет место в модели кучи песка. Положение ручки (средний наклон) устанавливается в критическое значение за счет самоорганизации, а не путем искусственной подстройки. По этой причине BTWмодель и другие системы такой природы получили название самоорганизованно критических (СК).

Весьма остроумной является так называемая "офисная" интерпретация данной модели которая трактует ячейки клеточного автомата как столы клерков, а величины в них – как число ждущих рассмотрения бумаг. До тех пор пока у чиновника не скопится определенное число бумаг, он бездействует, а потом берет четыре штуки, визирует и передает соседям. При этом одна входящая бумага может вызвать катастрофический взрыв "деловой" активности.