2.1. "Песочная" парадигма

2.1. "Песочная" парадигма
Представим себе коническую кучу песка, на центр которой по одной кладут песчинки. Будем считать, что устойчивость ее поверхности определяется локальным наклоном. Когда он превышает некоторое пороговое значение, песчинки соскальзывают вниз, что может привести к потере устойчивости соседними участками кучи, т.е. возможно развитие лавины осыпаний. Если средний наклон кучи невелик, то добавление очередной песчинки не вызывает заметных последствий, поскольку лавина быстро затухнет. Если наклон очень большой, то любое воздействие может привести к макроскопическому оползню, в который будет вовлечена большая масса песка.

а) +1 б) +1
+1 –4 +1 +1 0 +1
+1 +1
Рис. 4. Осыпание неустойчивой ячейки (закрашена серым) При превышении значением в ячейке тройки оно уменьшается с одновременным увеличением значений в соседних ячейках; а) – BTW-модель, б) – дискретная FF-модель.
Эту систему удобно описывать на языке клеточных автоматов. Для кучи песка было предложено несколько различных вариантов правил, из которых, по-видимому, наиболее простым и наглядным (хотя он и не соответствует в точности реальной куче песка) является исторически самый первый называемый в литературе BTW-моделью[5]. Автомат представляет собой квадратную решетку, в ячейках которой находятся целые числа, характеризующие локальный наклон кучи. Ячейки, где оказываются числа, большие порогового значения, которое обыкновенно полагается равным 3, объявляются неустойчивыми и осыпаются по схеме, изображенной на рис. 4а.

Эти правила представляют собой трактовку осыпания, как соскальзывания двух песчинок вниз по склону, которое приводит к росту наклона в двух нижележащих ячейках. При этом увеличение наклона в двух ячейках, лежащих выше, обусловлено уменьшением числа песчинок в осыпавшейся ячейке. Поскольку схема полностью симметрична, конкретное направление склона значения не имеет (отметим лишь, что он направлен вдоль диагонали решетки).

Шаг моделирования состоит из возмущения и релаксации. Возмущение, или привод (driving), соответствующее добавлению на вершину кучи (в центр решетки) одной песчинки, выражается в увеличении на единицу значения в центральной ячейке системы. Если это нарушает ее устойчивость, то она осыпается (рис. 4а), что в свою очередь может нарушить устойчивость соседей, которые в этом случае также осыпаются, и т.д. Релаксационный процесс завершается, когда все ячейки вновь обретут устойчивость, после чего делается следующий шаг.

Граничные условия BTW-модели полагаются открытыми. Это значит, что если устойчивость теряет ячейка, лежащая на границе решетки, то при ее осыпании происходит потеря единицы наклона (и, соответственно, двух единиц для угловых ячеек). Возможность "оттока наклона" необходима для существования стационарного состояния, поскольку возмущение увеличивает средний наклон кучи, а правила осыпания консервативны.

Как показывает компьютерное моделирование, вне зависимости от начальных условий система эволюционирует в стационарное состояние, в котором распределения длительностей лавин, затронутой ими площади и числа осыпаний имеют вид (14), где величина xc определяется лишь размером системы и при его увеличении может быть сделана сколь угодно большой. Поскольку нарушение степенной зависимости связано лишь с конечными размерами системы, происходящие в ней процессы не имеют собственных характерных размеров.

Понять природу этого явления легче, введя понятие минимально устойчивого элемента (МУЭ), под которым понимается участок кучи, теряющий устойчивость под воздействием малого возмущения (в большинстве случаев МУЭ являются ячейки с пороговым значением наклона, однако возможны ситуации, когда их роль играют ячейки и с меньшим наклоном). Минимально устойчивые элементы являются проводниками активности, т.е. если они образуют связный кластер, то любое воздействие на него затрагивает весь кластер.

Если средний наклон кучи не очень велик, то МУЭ редки, и возмущение не может далеко распространиться, т.е. активность быстро затухает, имея вполне определенные характерные значения для описывающих ее величин. Однако, поскольку при этом лавина, как правило, не достигает краев кучи, средний наклон должен возрастать с каждой добавленной песчинкой. Если, напротив, средний наклон велик, то активность распространится практически по всей куче, достигая краев, где избыточный наклон будет покидать систему, что приводит к его уменьшению.

Таким образом, в системе имеется отрицательная обратная связь, удерживающая средний наклон вблизи некоторого значения, при котором концентрация минимально устойчивых элементов равна порогу перколяции, т.е. точке возникновения из них бесконечного связного кластера. При этом любое возмущение (информация) может распространяться по системе на бесконечное расстояние, и система ведет себя как единое целое. По этой причине, в частности, то, как проводится возмущение, т.е. куда добавляются песчинки, не оказывает влияния на статистические свойства BTW-модели – можно, например, добавлять песчинки не в центр решетки, а в случайно выбранные ячейки.