1.3. Связь фликкершума и степенных распределений

1.3. Связь фликкершума и степенных распределений
Как уже отмечалось выше, явление фликкер-шума обусловлено отсутствием характерных времен, т.е. степенным распределением временных характеристик процессов. Поясним это рассуждение двумя простыми примерами. Рассмотрим изображенный нарис. 3а процесс, представляющий собой последовательность событий единичной амплитуды, длительность которых описывается СЗРВ c показателем a

. (17)

Будем считать, что время, проходящее между последовательными событиями, велико.

Рис. 3. Простейшие примеры сигналов, не имеющих характерных временных масштабов

Вариант a) – события единичной амплитуды и случайной длительности, разделенные большими промежутками времени; вариант b) – кратковременные события равной амплитуды, разделенные случайными промежутками времени. Распределение длительностей событий и промежутков в вариантах a) и b), соответственно, предполагается степенным.

Спектр мощности S(f) любого процесса представляет собой просто преобразование Фурье от его автокорреляции

,

которая дается формулой

(18)

и определяет, в какой мере процесс "помнит" самого себя.

Если воспользоваться временной разнесенностью событий рассматриваемого процесса и пренебречь взаимодействием между ними, то для автокорреляции (18) получим

,

откуда немедленно имеем

,

т.е. данный процесс порождает фликкер-шум с b = 2 – a. Этот результат не изменится, если большие промежутки времени между событиями заменить на имеющие то же распределение (17), что и сами события.

Другим примером может служить процесс, состоящий из кратковременных событий равной амплитуды, разделенных случайными промежутками времени, которые имеют степенное распределение вероятностей (17) с показателем a < 1 (см. рис. 3b).

Примем за нулевой момент времени момент одного из событий, тогда на промежуток времени от 0 до t приходится порядка

событий. Соответственно, вероятность того, что в момент t происходит событие, равна

,

что с точностью до коэффициента есть автокорреляция A(t) рассматриваемого процесса, откуда S(f) ~ f a, т.е. b = a.[4]