§3. Оптимизация процесса охоты

§3. Оптимизация процесса охоты
Для описания влияния охоты на динамику изменения нормированной численности изолированной популяции используют вариант обобщенного уравнение Хатчинсона (11)

. (19)

Функция r(s), описывающая возрастную структуру популяции и характер (непрерывный или сезонный) размножения, монотонно не убывает, причем

.

По смыслу задачи решения (19) при всех t і 0 положительны, а характеризующая интенсивность охоты функция u(t,N) кусочно-непрерывна и неотрицательна.

Отличие этой модели от известных состоит не только в учете запаздывания и возрастной структуры, но и в способе введения в уравнение функции охоты. Смысл этого таков: влияние охоты тем меньше, чем меньше численность вида.

Основные предположения состоят в том, что, во-первых, либо популяция сильно плодовита, либо возраст половозрелости достаточно велик, т.е.

, (20)

и во-вторых, интенсивность охоты меньше плодовитости вида

. (21)

Ниже естественным образом вводятся критерии качества охоты и показано, что наилучший способ ведения охоты такой: охотиться следует с наибольшей интенсивностью при условии, когда численность популяции выше порогового значения, и вообще не следует охотиться, если эта численность ниже порогового значения.

Рассматривая такой сложный процесс как охоту, мы вынуждены считаться с различными, подчас противоречивыми требованиями и ограничениями. Поэтому введем пять критериев, характеризующих охоту. Через N(t,u) будем обозначать устойчивые по Ляпунову положительные решения уравнения (19). Поскольку добыча количества особей, добытых в результате охоты за время от t = 0 до t = T, определяется величиной

,

то в качестве критерия добычи (который следует максимизировать) естественно рассмотреть среднее значение добычи

.

Следующий функционал

определяет затраты на единицу добычи и, следовательно, нуждается в минимизации.

Остальные функционалы отражают условия жизни самой популяции. Обозначим через J3(u) среднее значение численности

.

Введем функционал J4(u) как наименьшее по всем t і T при T ® Ґ значение функции N(t,u)

.

И, наконец, через J5(u) обозначим среднее значение длин всех тех временных промежутков, на которых численность популяции опускается ниже своего среднего уровня. Ясно, что при прочих равных условиях тот режим охоты следует считать лучшим, для которого больше значения J3(u) и J4(u) и меньше значение J5(u).

Определение 1. Режим охоты u*(t,N) назовем асимптотически оптимальным для функционала Jk(u), где k = 1,2,3, если при l ® Ґ выражение Jk(u*) стремиться к своему оптимальному значению.

В связи с тем, что при увеличении l функционал J4(u) резко убывает, а J5(u) резко возрастает, определение асимптотически оптимального режима охоты целесообразно дать в несколько иной форме.

Определение 2. Режим охоты u*(t,N) назовем асимптотически оптимальным для функционалов J4(u) или J5(u), если, соответственно,

.

Лемма. При всех достаточно больших l значения функционалов Jk(u) (k = 1,2,…5) не зависят от выбора решения N(t,u).

Фиксируем произвольно параметр g > 0 и рассмотрим режим охоты

. (22)

Теорема 3. Режим охоты ug(N) асимптотически оптимален в смысле каждого из функционалов Jk(u) (k = 1,2,…5), причем при l ® Ґ

, (23)

, (24)

Для сравнения отметим, что при u є 0 (в отсутствии охоты)

.

Рис. 2. Динамика нормированной численности вида при l=3 в условиях оптимальной охоты (светлый график) и без охоты (темный график)

Таким образом, приходим к важному выводу: разумная (т.е. близкая к оптимальной) охота оказывается полезной виду. Во-первых, практически не меняется среднее значение численности, во-вторых, возрастает ее минимум, в-третьих, уменьшаются промежутки времени, где численность вида меньше своего среднего значения (см. рис. 2). Представляется любопытным, что добыча может превышать (при r(1a) > 1) среднее значение численности, причем последняя при этом существенно не меняется. Слабую зависимость Jk(ug) от g можно интерпретировать как устойчивость по отношению к выбору момента начала охоты.

Рассмотрим вопрос о структуре установившихся режимов уравнения (19) при асимптотически оптимальном режиме охоты.

Теорема 4. При u = ug(N) и всех достаточно больших l уравнение (19) имеет единственное (с точностью до фазовых сдвигов) экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение.

Используя результаты можно построить асимптотику этого периодического решения. Здесь отметим лишь, что для его периода T(l) верна формула T(l) = exp[la(1+o(1)].

Рассмотрим затем случай, когда ограничение (21) места не имеет. Индивидуальные асимптотически оптимальные (в классе всех u(t,N) і 0) выражения для J1(u), J2(u) и J3(u) выписать довольно легко:

. (25)

Функцию u*(t,N), на которой эти значения реализуются, можно получить, если в определении (22) для ug(N) положить a = a(l) и a(l) устремить к нулю при l ® Ґ.

Единственное условие, которое необходимо соблюсти для правомерности перехода от формулы (23) к (25), состоит в том, чтобы lЧa(l) ® Ґ при l ® Ґ (т.е. a(l) не "слишком" быстро стремилось к нулю). Таким образом, если ограничиться задачей оптимизации только первых трех функционалов, то в качестве "разумной" охоты целесообразно принять функцию (22) с наложенными выше ограничениями на a = a(l). Интенсивность "разумной" охоты (при N(t,u*) > g) близка к плодовитости вида. Относительно значений J4(u*)и J5(u*) можно утверждать, что J4(u*) ® 0, а J5(u*) ® Ґ при l ® Ґ.

Приведем индивидуальные оптимальные значения функционалов J4(u) и J5(u):

.

Оба экстремума можно реализовать на одной и той же функции u0(t,N), причем на этой же функции оптимизируется функционал J3(u) (условие (20) здесь несущественно). Задача оптимизации только функционалов J3(u), J4(u) и J5(u) имеет ясный биологический смысл: создаются наилучшие условия функционирования популяции. Отметим, что J3(u0) = 0.

Сравнение значений всех функционалов на функциях u*(t,N) и u0(t,N) указывает на принципиальную важность проблемы "меры" значимости каждого функционала по отношению к другим. Ясно, что заранее без учета специфики конкретной задачи этого сделать нельзя. Отметим еще, что множество функций, оптимизирующих первые три или последние три функционала, составляют довольно обширные классы функций.

Сравним это с тем случаем, когда u(t,N) близка к постоянной. В предположении, что u(t,N) є c О (0;1), выпишем значения Ji(c) (i = 1,2,3):

.

Таким образом, наибольшее (по всем c О (0;1)) значение J1(c) примерно в четыре раза меньше, чем соответствующее в (25). Значения J2(c) и J3(c) тоже уступают соотношениям (25). Поэтому охотиться с постоянной интенсивностью невыгодно.