2.3. Неоднородная среда. Низкая подвижность

2.3. Неоднородная среда. Низкая подвижность
Перейдем к случаю, когда подвижность популяции мала, т.е.

. (15)

Будем предполагать, что мальтузианский коэффициент и средний возраст производителей одни и те же во всех точках ареала обитания.

Если rh < p/2, то единственным уравнение (12) имеет единственный устойчивый стационарный режим. Если D = 0, то N = 1/a(x), а если D № 0, то N = K(x,D) = 1/a(x) + O(D). Тем самым, численность популяции не колеблется.

Если rh = p/2, состояние равновесия при D = 0 устойчиво (не экспоненциально), а при D > 0 устойчивость K(x,D) носит экспоненциальный характер. Таким образом, неоднородность среды обитания повышает устойчивость экосистемы. В обсуждаемом случае при D = 0 численность популяции совершает устойчивые периодические колебания по закону N0(t,x) = N0(t)/a(x).

Оказывается, что при всех малых значениях коэффициента подвижности ситуация та же, т.е. краевая задача (12) имеет устойчивое периодическое решение N0(t,x,D). Его структура такова:

(16)

При некотором дополнительном условии на функцию a(x) (точнее на ) поправка к первому слагаемому в правой части (16) имеет порядок O(D).

Таким образом, в отличие от случая, когда значение D велико, стационарный режим при условии (15) зависит от x существенно. В частности, амплитуда колебаний N0(t,x,D) больше в тех точках ареала, где условия обитания лучше, т.е. меньше сопротивление среды a(x). Несмотря на это, минимум численности (по x и t) там, где сопротивление среды наибольшее.

Предположим для простоты, что все параметры в (12) неоднородны лишь по одному направлению x1 (это означает, что x = x1 и W = [0;1]). Применение для краевой задачи (12) при каждом из условий (17) и (18) техники, развитой в работе позволяет показать, что эта краевая задача имеет при всех достаточно больших l медленно осциллирующее устойчивое периодическое решение N0(t,x,l). Его период неограниченно растет при увеличении l.

Рассмотрим еще два случая.

Первый случай. Пусть популяция сильно плодовита, т.е.

. (17)

Обозначим через j0(x,l) (max j0(x,l) = 1) собственную функцию, отвечающую наибольшему собственному значению m0(l) краевой задачи

.

Отметим, что m0(l) = l[1+O(1)]. Пусть x0 точка максимума функции r0(x0), определяемая единственным образом, тогда функция j0(x,l) близка к 1 в малой окрестности точки x0, а при увеличении и уменьшении x резко убывает. Функция N0(t,x,l) в течение длительного промежутка времени имеет порядок o(1). При этом происходит ее возрастание по t и стабилизация по пространственной переменной к функции cj(x,l). После небольшого промежутка резкого увеличения значений N0(t,x,l), в конце которого возрастает степень неоднородности по x, происходит быстрое падение численности N0(t,x,l) в малую окрестность нуля. Далее ситуация повторяется.

Интересно отметить, что в случае немногочисленной популяции неоднородность среды обитания большой роли не играет. На ее пространственное распределение наибольшее влияние оказывает величина мальтузианского коэффициента. Плотность популяции больше там, где этот коэффициент больше. Неоднородность среды важна лишь тогда, когда численность популяции велика. Заметим, что при увеличении l степень устойчивости стационарного режима N0(t,x,l) возрастает.

Второй случай. Здесь основное предположение состоит в том, что возраст половозрелости особей достаточно велик, т.е.

(18)

Предыдущие выводы сохраняются и в этих условиях. При этом происходит стабилизация (при условии, что N0(t,x,l) мало) к функции j0(x) – собственной функции, отвечающей наибольшему собственному значению краевой задачи

.

Тем самым, влияние r(x) некоторым образом усредняется. Отметим еще, что стабилизация к j0(x) происходит существенно быстрее, нежели в первом случае.