1.5. О возможном статистическом описании жесткой турбулентности

1.5. О возможном статистическом описании жесткой турбулентности
Минимальные требования к статистической модели сводятся к тому, что она должна предсказывать распределение межпиковых интервалов и распределение пиков по высоте (или, что почти то же самое, по энергии). Для этого надо определить вероятность g(M,E,P) того, что при данных значениях массы M, энергии E и импульса P начнется рост пика, а также вероятность того, что он дорастет до заданных значений энергии. Вообще говоря, существует возможность развить подобный подход детально и выписать соответствующее кинетическое уравнение. Но оно оказывается столь сложным, что его невозможно решить ни аналитически, ни численно. Поэтому мы даже не будем его здесь приводить. Отметим, что единственным простым и красивым результатом этого подхода является определение формы границы области на плоскости (M,E), внутри которой возможно возникновение пиков, т.е. g(M,E,P) > 0. В термодинамическом пределе, когда систему можно характеризовать плотностями энергии, массы, импульса, практически не зависящими от длины области, для этого оказывается достаточно соображений симметрии.

Известно, что нелинейное уравнение Шредингера инвариантно относительно преобразования, которому соответствует преобразование плотностей средних величин (m є M/D и т.д., где D – длина области):

.

Поскольку t' = t/l2, вероятность возникновения пика на интервале [t;t+dt] масштабируется как g' = g/l3.

Теперь обратимся к случаю области бесконечной длины, предполагая, что статистические характеристики плотностей сходятся к определенному пределу при L ® Ґ (он называется термодинамическим). В этом случае система после "растяжения" (или сжатия) пространства описывается теми же распределениями вероятности, поэтому: gў(mў,eў,pў) = g(m,e,p). Отсюда немедленно следует функциональное уравнение

.

Если пренебречь импульсом (роль которого, как описывалось выше, мала), то получим

.

Зафиксировав длину области и переходя от плотностей снова к массе, энергии и импульсу, получим, что g(M,E,0) = M3(E/M3), и, следовательно, уравнение границы области g > 0 должно иметь вид E = constЧM3.

Таким образом, уравнение (2) оказалось слишком сложной моделью, не допускающей сколько-нибудь полного исследования статистических свойств жесткой турбулентности. Поэтому на повестку дня встал вопрос о создании более простой модели, допускающей детальное исследование.

Хорошим объектом могли бы стать системы, демонстрирующие так называемую on-off перемежаемость. Но необходимо учесть и качественные особенности (2), что не слишком просто. О разработке подобной модели речь пойдет далее.

§2. Жесткая турбулентность и переключающая перемежаемость (onoff intermittency)

Сам термин "onoff intermittency" появился в 1993 г. Как утверждали авторы этой работы, ими был описан новый тип перемежаемости, связанный с возникновением гигантских выбросов. Классическая перемежаемость Помо и Манневиля была связана с близостью параметров системы к точке бифуркации, где происходит потеря устойчивости неподвижной точки в фазовом пространстве. При этом она оказывается как бы "слабо неустойчивой" и при прохождении вблизи нее траектории в течение некоторого времени наблюдается "ламинарная фаза", сменяющаяся затем интервалом хаотического поведения. В соответствии с тремя типичными бифуркациями, различали и три типа перемежаемости: I (седло-узел), II (Хопфа) и III (удвоения периода).

В был предложен более общий тип бифуркации, "blow-out", когда при когда при l < l0 в системе существует устойчивое инвариантное многообразие, на котором система ведет себя хаотически, а при l > l0 оно становится неустойчивым и начинает резко выбрасывать траектории в перпендикулярном направлении. Если такую систему дополнить механизмом возвращения "выброшенной" траектории обратно к многообразию, то будет реализован хаотический режим, перемежающийся редкими выбросами. Кстати, авторы работы специально отмечали, что она была инициирована аналогиями с солнечными циклами, рыночными ценами акций и развитием биологических видов, а также то, что для таких режимов скорее всего будут неприменимы реконструкции аттрактора по скалярному временному ряду.

Таким образом, переключающую перемежаемость можно рассматривать как обобщение классической перемежаемости. Однако это скорее руководство к действию, способ построения моделей, чем конкретная модель. Поэтому едва ли имеет смысл говорить об общих и фундаментальных свойствах такой перемежаемости (статистика, спектр и т.п.). Меняя тип и размерность инвариантного многообразия, динамику на нем и механизмы ухода и возвращения, скорее всего, можно получать очень сильно отличающиеся характеристики. Поэтому в данной работе сделана попытка воспроизвести некоторые характерные черты ЖТ в уравнении Гинзбурга–Ландау при помощи принципов реализации переключающей перемежаемости на простых моделях, предложенных в Заметим, что само уравнение можно отнести к классу подобных моделей, хотя и не простых. Однако для него инвариантное многообразие неизвестно, а его ортогональное дополнение имеет слишком большую размерность.

Основными чертами мы будем считать следующие:

- наличие инвариантного многообразия или множества, способного терять устойчивость;

- наличие медленно меняющейся величины, характеризующей текущее состояние системы;

- взаимодействие между быстрыми и медленными переменными, регулирующее поведение системы.

Описанное выше грубое качественное понимание столь непростого и богатого феномена, как жесткая турбулентность, никоим образом не является достаточным. Однако оно вполне хватит для построения упрощенной модели.

Представляется, что модель должна быть максимально грубой, чтобы передавать лишь наиболее общие свойства ЖТ. Будем пытаться воспроизвести поведение в дифференциальном уравнении, используя отображения.

Во-первых, пусть будет лишь одна медленная переменная; она заменит один из параметров в отображении для быстрых переменных. Назовем ее "энергией" E, так как, по-видимому, именно энергия играет наибольшую роль среди интегралов движения в уравнении Гинзбурга–Ландау.

Во-вторых, пусть регулярная (межпиковая) фаза соответствует движению быстрых переменных по хаотическому аттрактору, свойства которого медленно меняются с изменением этой медленной переменной. В тот момент когда она переходит через некоторое критическое значение, пусть происходит кризис этого аттрактора, так что в нем появляется "дырка", через которую траектория покидает его, и начинается "рост пика".

Однако когда-то этот рост должен смениться распадом, при котором траектория быстрой системы возвращается в ограниченный аттрактор. Иными словами, этот аттрактор вновь становится глобально притягивающим (даже для бесконечно удаленных точек).

Подобная перестройка может быть достигнута за счет либо энергии ("параметрически"), либо за счет быстрых переменных ("динамически"). Первый способ проще, однако он мало соответствует происходящему в QTDGL.

Поэтому, в-третьих, мы потребуем, чтобы рост пика прерывался при достижении какими-то из быстрых переменных пороговых значений.

Конечно, после этого они не могут устремиться к аттрактору все сразу, поскольку как только они чуть отступят за этот порог, тут же притяжение вновь смениться отталкиванием, и т.д.; и подобные колебания закончатся падением на неподвижную точку рядом с пороговым значением.

Поэтому, в то время как одна группа быстрых переменных начала возвращение на аттрактор, другая группа должна продолжать удаляться от него. Так должно продолжаться до тех пор, пока все переменные первой группы не попадут на аттрактор; и лишь после этого начнется возвращение по оставшимся переменным.

Поэтому, быстрая система должна содержать как минимум две переменных, и притом не слишком сильно связанных.

В-четвертых, пусть быстрое отображение при фиксированной энергии будет кусочно-линейным. Это снимет ряд проблем с бифуркациями, окнами периодичности, и т.д.

Сформулируем (пока словесно) вид динамической системы:

Есть два связанных одномерных отображения с переменными x и y и параметром E. При большом E имеется регулярный аттрактор, который траектория никогда не покидает. Когда же энергия меньше порогового значения Ec, происходит кризис этого аттрактора: траектория в конце концов покидает его и уходит все дальше и дальше (почти на бесконечность). Однако она все же остается в ограниченной области: когда y превышает некоторое (достаточно большое) пороговое значение, динамика x обращается, и эта переменная устремляется назад в аттрактор. Когда она попадает туда (и там остается), y также устремляется в аттрактор.

Теперь пусть E уже не постоянный параметр, но медленная переменная. Пусть, в течение регулярной фазы она медленно убывает, так что если бы не обострение, она сошлась бы к неподвижной точке E*, лежащей ниже критического значения E* < Ec. В действительности она до нее не дойдет, так как случится кризис аттрактора, траектория покинет его и закон изменения медленной переменной (усредненное уравнение) изменится. Значения быстрых переменных станут расти, а вместе с ними начнет расти и энергия. Как только она превысит критическое значение Ec, "дырка" в аттракторе закроется, т.е. он вновь станет глобально притягивающим.

Быстрые же переменные (пока ещё) продолжают расти независимо от величины энергии. Когда y переходит через пороговое значение, динамика x обращается, и эта переменная устремляется назад в аттрактор. Энергия же начинает убывать, но медленнее, чем росла. Наконец x возвращается в аттрактор, после чего y также устремляется туда. Из-за медленности убывания энергии, в этот момент она все еще много больше критической, поэтому x не может покинуть аттрактор и остается там надолго, так что и y успевает вернуться туда. Итак, в конце концов обе быстрые переменные попадают назад в аттрактор, где и реализуется хаотический режим. Энергия же медленно убывает, пока не достигнет своего критического значения. Тут возникнет новый пик, и т.д.

Необходимо отметить следующее. Пусть у нас есть параметр e, который и определяет скорость эволюции энергии, т.е. отношение быстрого и медленного масштаба времени. Оказывается (мы покажем это позже, но можно и сейчас уже догадаться), что при e ® 0 обострение начинается при значении энергии, практически совпадающим с критическим: E ® Ec – 0. А это значит, что "дырка" в аттракторе очень мала. Она находится там, где коснулись границы аттрактора и его области притяжения, т.е. две линии, и потому в общем случае является окрестностью точки. Иными словами, пики начинаются при практически одинаковом значении не только энергии, но и быстрых переменных. Следовательно, они и завершатся практически одинаковыми – без того их разброса, который характерен для жесткой турбулентности в уравнении Гинзбурга–Ландау.

Преодолеть это несоответствие довольно просто. А именно, пусть при переходе энергии через критическое значение вначале открывается дырка только для x, а y остается в аттракторе до тех пор, пока x не станет достаточно большим. И лишь тогда пусть y сможет покинуть аттрактор.

В результате получится вот что. Все-таки обострение начнется с чуть-чуть разных значений x и y (в пределах размера дырки, который, как мы увидим ниже, ~e1/3). Пока x не достигнет того значения X, при котором откроется дырка для y, эта переменная движется по хаотическому аттрактору, и первоначальный разброс значений растет:. Одновременно xn ~ (kx+)n, поскольку отображение по вне аттрактора линейно, см. рис. 4. Так что к моменту, когда x = X, разброс значений y составит

,

и если потребовать, чтобы

, (5)

Рис. 4. Отображение f(x,z,a)

то разброс значений y будет порядка единицы. Тут откроется дырка для y-компоненты траектории, и если она мала, то пройдет изрядно времени, пока траектория туда попадет. А поскольку стартовые условия очень разные: Dy ~ 1, то и время достижения дырки T1 (считая за 0 момент, когда x = X) также будет сильно различаться. Наконец, начнется рост y – с практически одинаковых начальных условий (в окрестности дырки). Поэтому интервал времени T2 от выхода y-компоненты из аттрактора до достижения порогового значения (когда x начнет убывать), будет практически постоянным.

Таким образом, после перехода через критическое значение x будет расти в течение времени T1 + T2, и потому максимальное значение будет. Благодаря разбросу T2 максимальное значение xmax будет меняться от пика к пику случайным образом.

Итак, мы пришли к трехмерному отображению:

(6)

с быстрыми переменными x и y и медленной "энергией" E. Вид функции f показан на рис. 4. Связь быстрых переменных с медленной осуществляется через член, содержащий xn в третьем уравнении.

Параметр e – произвольное малое число; g0 = 0,5, a0 = 0,5, g = 0,122. Критическое значение ac зависит от a0 и g; при указанных выше величинах ac = 0,2668… Соответствующее значение Ec произвольно; мы положили Ec = 0,3. Значение aҐ, соответствующее большой энергии, также произвольно и только должно быть меньше ac; мы положим aҐ = 0,8.

Наклон внешних ветвей есть kx+ = 4, kx = 0,1, ky+ = 2, ky = 0,1, а критические значения, при которых происходит переключение наклона xc = 4/3, yc = 10000.

Рис. 5. Эволюция переменных системы в окрестности пика

Тонкая сплошная линия – log |x|, жирная сплошная линия – log |y|, пунктир – log |E|. Чтобы обеспечить приемлемые масштабы, расчет произведен при нетипичных значениях параметров: e=0,02, g0=0,5, yc=100 (при параметрах использованных в расчетах статистических характеристик пик был бы слишком узкий и высокий).

На рис. 5 показаны временные ряды в окрестности пика для специально выбранных параметров e = 0,02, g0 = 0,5, yc = 100, при которых пики достаточно низкие и широкие, чтобы их можно было показать на рисунке.

Рассмотрим теперь качественное описание динамики пика.

Межпиковая фаза. После распада очередного пика траектория быстрой системы возвращается на аттрактор и спустя несколько итераций на нем устанавливается инвариантное распределение. Энергия медленно убывает.

Выброс по x. Когда энергия падает ниже критического значения Ec, т.е. оказывается a > ac, в аттракторе двумерного отображения (первые два отображения (6)) происходит кризис и открывается "дырка", через которую xкомпонента начинает уходить на бесконечность по закону xn ~ (kx+)n. Пока |x| много меньше, чем 1/e, динамика yкомпоненты приближенно описывается уравнением

.

Хотя это отображение и имеет отталкивающую ветвь, попасть на нее из аттрактора невозможно, поэтому движение остается пока ограниченным и хаотическим.

Выброс по y. Динамика yкомпоненты описывается отображением

.

Поскольку отображение

уже не имеет аттрактора (траектории покидают его и уходят на бесконечность), то когда |x| достигает величины 1/e, в аттракторе появляется дырка и траектория может покинуть его. Кризис аттрактора происходит при

.

Заметим, однако, что дырка эта не слишком большая, так что выход из аттрактора может произойти далеко не сразу. В течение этого времени |x| продолжает расти, так что добавочный член Gn меняется. Следовательно, разные траектории покидают аттрактор при разных значениях G и получается "растянутый" кризис.

Прекращение роста по x. Когда y превышает (по модулю) величину yc, внешняя ветвь для x-отображения становится сжимающей и рост x сменяется еще более быстрым убыванием: xn ~ (kx)n. До тех пор пока не уменьшится настолько, что пересечет критическое значение xc, координата y продолжает расти: yn ~ (ky+)n.

Распад пика. Когда x уменьшится настолько, что пересечет критическое значение xc, внешняя ветвь для y-отображения становится сжимающей и рост y сменяется еще более быстрым убыванием: yn ~ (ky)n. Пока |y| не станет меньше |yc|, внешняя ветвь для x-отображения остается сжимающей, так что траектория, уже лежавшая правее xc, попадает в область притяжения аттрактора, из которой она не сможет выскочить на внешнюю ветвь отображения.

Поэтому даже после того как |y| окажется меньше |yc| и внешняя ветвь для x-отображения станет растягивающей, но это уже не может выбросить x-компоненту, так как к этому времени она находится в области притяжения ограниченного аттрактора.

Координата продолжает убывать, и в конце концов попадает на аттрактор. Внешняя ветвь соответствующего отображения так и остается сжимающей.

Начинается новая межпиковая фаза, и т.д.

Система оказывается замечательна тем, что при малом e в ней можно аналитически рассчитать:

- параметры "дырки", из которой убегает траектория;

- плотность вероятности для x и y к моменту образования дырки;

- вероятность выхода траектории через дырку, т.е. начала роста пика;

- распределение значений параметра a на момент роста пика;

- распределение x и y после выхода из аттрактора;

Это дает возможность получить распределения максимальных величин и в пике.

Распределение для |xmax|:

, где (7)

.

Распределение для максимумов y

,

где значение нормировочного множителя

.

Максимальное значение энергии пика также можно оценить через максимум x, откуда получается, что распределение пиков как по максимальной энергии, так и по конечной энергии, когда вернется на аттрактор, ведет себя как.

Нарис. 6 приведена экспериментальная гистограмма распределения log E в момент завершения пика. Для сравнения проведена прямая линия, показывающая наклон графика в логарифмических координатах.

После распада пика энергия спадает по закону En+1 = (1e)nEn, пока не снизится до величины порядка единицы. После этого потребуется O(1/e) итераций, чтобы было достигнуто критическое значение энергии и возник новый пик. Таким образом, межпиковый интервал имеет длительность

.

Пренебрегая величиной О(1) и используя полученные ранее соотношения, получаем распределение длительности межпиковой фазы:

, (8)

где Tmin – минимальная длительность межпиковой фазы

.

Средняя же её длительность составляет

.

Рис. 6. Логарифм гистограммы распределения log E в момент окончания пика

Левее левого конца кривой распределение обращается в нуль и потому не построено. Расчет проведен при e=10–6, g0=0.27. Тонкая прямая имеет наклон 3,34·103, в то время как теоретическое приближение при использованных параметрах дает plog E(z)=const·e0,00346z, так что предсказанный наклон составляет 3,46·103.

Другими словами, мы получили степенные зависимости для плотности вероятности амплитуд гигантских пиков и их энергии. Зависимость от параметров для показателей степени такова, что они могут быть "сделаны" близкими к единице, что характерно для фликкер-шума и самоорганизованной критичности, или такими, которые характерны для модели жесткой турбулентности в распределенной системе (уравнение Гинзбурга–Ландау). В этом видно внутреннее единство целого класса различных нелинейных процессов, связанных с катастрофами.