1.4. Макроскопическое описание жесткой турбулентности. Медленно меняющиеся величины

1.4. Макроскопическое описание жесткой турбулентности. Медленно меняющиеся величины
Итак, рассмотрим, как будут вести себя масса m, энергия E и импульс P для уравнения (2). Из уравнения можно получить закон их изменения:

(4)

Интересно, что импульс почти не играет роли в исследуемых процессах. Во всех расчетах, где его начальное значение было близко к нулю, оно таковым и оставалось с некоторыми незначительными флуктуациями. Напротив, энергия и импульс оказались весьма информативны. Характерный пример их эволюции приведен на рис. 3. Главный вывод, который из него следует – изменение массы может служить на больших временах предвестником роста гигантских пиков. Оно показывает насколько опасно то положение, в котором находится система. Отметим также следующее.

Рис. 3. Изменение массы и энергии на разных временных масштабах

1. Возникновение пика откликается мощным и очень быстрым всплеском энергии.

2. На этапах распада пика, когда профиль становится весьма изрезанным, энергия монотонно уменьшается. Фактически, она позволяет характеризовать изрезанность, поскольку включает wx.

3. После того как пик исчезает и начинается переходный процесс, энергия убывает, и покуда она не достигнет значений E < 1, новые пики не возникают (для области длиной 20). Чаще всего пики возникали при E » 0.

4. Масса меняется гораздо слабее. После возникновения пика она начинает убывать до тех пор, пока E > 0, затем она начинает опять нарастать.

В случаях, когда в системе существует хорошее разделение временных масштабов, т.е. любой процесс можно отнести либо к быстрым, либо к медленным, эффективным способом исследования модели является усреднение по быстрым переменным. При этом можно было бы использовать тот факт, что статистические характеристики малых фоновых флуктуаций должны быть практически теми же, что и у нелинейного уравнения Шредингера. А для эволюции медленных переменных должна получиться система вида

На ранних стадиях распада пика, когда |w| < 1, а пространственные градиенты велики, |wx| >> |w|, многие члены в (4) становятся несущественны, поэтому

Входящее в эту систему среднее удалось получить численно и результирующее уравнение для данной стадии оказалось на удивление простым:

,

где c(M,E) – практически константа.

Заметим, что на самой ранней стадии распада пика значение энергии может быть очень велико (~ econst/e) и изменение энергии не является медленным. Поэтому разделения временных масштабов нет и техника осреднения может и не работать. Но особенность данной задачи заключается в том, что эта техника оказывается применима. Одна из причин этого состоит в том, что для нелинейного уравнения Шредингера интеграл т|wxx|2dx почти совсем не флуктуирует. Поэтому пространственное осреднение как бы частично заменяет временное.

Однако на турбулентном фоне, когда распад предыдущего пика закончился, а следующий еще не возник, мгновенные значения массы и энергии медленно и не слишком регулярно дрейфуют в небольшой области, где энергия мала, а масса сравнительно велика. Это поведение больше всего напоминает траектории вблизи устойчивой неподвижной точки с шумом. Рост нового пика оказывается внезапным и может начаться в любой части указанной области.

Поэтому детерминированное маломодовое описание в терминах энергии и массы хорошо описывает релаксационные процессы перехода пик®фон, но практически совсем не описывает процессы, происходящие на фоне, а потому не может предсказать момент начала нового пика и его характеристики. В связи с этим была предпринята попытка дополнить динамическое описание статистическим.