1.3. Автомодельная обработка и приближение "замороженной формы": упрощенная модель ограничения пика по высоте

1.3. Автомодельная обработка и приближение "замороженной формы": упрощенная модель ограничения пика по высоте
Автомодельные решения, однако, неспособны объяснить, почему прекращается рост пика. Общие слова о том, что "диссипация рост прекращает" неудовлетворительны. Как уже говорилось, решение остается почти автомодельным и в начале фазы распада, а следовательно, диссипация, которая должна была бы ограничивать "остроту" пика и делать решение неавтомодельным, существенной роли не играет. Поэтому нужен какой-либо иной механизм, зависящий от членов ~ e. Качественно описать нужный эффект помогла приближенная модель, которую мы назвали приближение замороженной формы пика.

Для численно построенных профилей w(x,t) можно произвести автомодельную обработку. Пусть максимум |w(x,t)| расположен в некоторой точке x0. Введем обозначения

и рассмотрим профиль. Оказывается, что во время роста и начала распада пика профили вблизи его центра и вплоть до » 3ё5 практически не меняют своей формы и близки к автомодельному виду. В то же время аналог величины a (, где – фаза w(x,t)) в момент начала распада пика резко изменяет знак. Поэтому можно предположить, что эволюция пика связана не с изменением формы, а с изменениями амплитуды, полуширины и фазы. Попытаемся построить приближенную модель, основанную на следующих предположениях.

Будем считать, что форма профиля остается практически постоянной в перенормированных координатах, т.е. w(x,t) » g(t)R(x) (для строго автомодельных профилей, но мы оставим профилю возможность отклоняться от автомодельного решения по высоте при сохранении формы), а фаза имеет тот же вид, что и для автомодельного случая: j(x,t) = b(t) + c(t)x – a(t)x2/4. Анализ реальных профилей для высоких пиков показал, что эти предположения вполне оправданны. Более того, чтобы упросить выкладки, положим c(t) = 0, это означает, что максимум пика не движется.

Подставим теперь в уравнения (2) w(x,t) = L–1/2(t)R(x)ej(x,t):

или

По очереди умножим эти уравнения сначала на R, затем на 2xR' и проинтегрируем по x от Ґ до Ґ. Для удобства введем обозначения In = тRndx, S2 = тx2R2dx, J = т(R')2dx, G = тx2(R')2dx. Будем полагать, что R убывает при |x| ® Ґ по крайней мере экспоненциально, так что подстановки вида обращаются в 0. Кроме того, профиль мы считаем симметричным с хорошей точностью, а потому интегралы с нечетным подынтегральным выражением будем отбрасывать. Интегрированием по частям несложно получить, что 2тRxR'dx = I2, 2тx2RxR'dx = 3S2, 2тR''xR'dx = J, 2тR5xR'dx = I6/3.

Удобно также сделать замену времени t ® t, т.е.. Тогда из первого уравнения получим

а из второго

Заметим, что g входит в правые части полученных уравнений только в комбинации m = g2L. В случае автомодельного решения эта комбинация представляет собой сохраняющуюся величину и пропорциональна "массе" пика. Теперь она может изменяться и можно получить уравнение для ее изменения используя уравнения для g и L.

После несложных преобразований получается следующая система для основных параметров

Оказалось, что члены, обозначенные как O(e), для качественного анализа несущественны и их можно не учитывать. Смысл входящих в уравнения переменных таков: L – полуширина пика, m – его масса, величина a характеризует вторую производную фазы вблизи вершины пика.

Таким образом, получается следующая качественная картина эволюции пика. В результате процессов, не описываемых данным приближением, формируются начальные условия, когда a > 0, а масса пика m > m0. Тогда для a получаем фактически автомодельное уравнение, в котором параметр b » I6(m02m2) / 3S2 < 0. Однако эта величина медленно нарастает со временем согласно второму уравнению, масса медленно убывает. Начинается рост пика практически по автомодельному закону, L быстро уменьшается, а a медленно убывает до тех пор, пока m не перейдет через критическое значение m0. После этого a меняет знак и начинает быстро убывать. Столь же быстро начинает расплываться и сам пик, и вскоре начинает меняться его форма, после чего приведенный анализ становится неприменим – пик "размораживается".

Заметим, что можно несколько усложнить исследование, добавив в соотношение для фазы линейный член (который считался нулевым) и разрешив вершине пика перемещаться. Для этого необходимо получить дополнительную пару приближенных уравнений, умножая исходные уравнения на 2xR и интегрируя их как обычно. Однако никаких принципиально новых качественных выводов это не дает, за исключением того, что можно показать, что при малых a2 коэффициент при линейном члене должен убывать, а пик, следовательно, симметризоваться.

Результаты данного раздела позволяют сделать ряд выводов и предположений.

1. Уравнение (2) обладает очень интересным механизмом остановки роста пика. Члены порядка e обеспечивают не столько диссипацию энергии пика, сколько нечто вроде "обращения времени", разворачивающего рост пика вспять. Образно говоря, система оказывается снабжена не "тормозами", а "рулем". Непонятно, насколько общим мог бы быть подобный механизм управления крупномасштабными событиями и в какие системы он мог бы быть "встроен".

2. На этапе развития пика, когда фон можно считать замороженным, а рост пика описать довольно простой моделью, в системе на короткое время появляется небольшое число "параметров порядка", a, L и m. Два из них – характеристики пика, а третий может быть определен и для иных образований, в том числе и для всей области. Поскольку в нелинейном уравнении Шредингера полная масса сохраняется, в (2) ей отвечает медленно меняющаяся величина. Возникает вопрос, нельзя ли хотя бы в каких-нибудь аспектах характеризовать всю систему, а не только отдельный пик, при помощи нескольких параметров порядка?

3. Основными кандидатами на эту роль будут масса, энергия и импульс – то, что сохраняется в рассматриваемом нелинейном уравнении Шредингера.

4. Для энергии пика тоже можно попытаться выписать приближенное соотношение, но оно оказывается не слишком информативно. Можно только утверждать, что когда полуширина сокращается настолько, что, начинается быстрый рост энергии. На основании численных результатов и некоторых приближенных рассуждений можно получить, что максимальная энергия имеет порядок величины econst/e. При малых L изменение оказывается очень большим, поэтому в течение некоторого небольшого интервала времени вблизи момента достижения пиком максимума энергия не будет меняться медленно.