§1. Жесткая турбулентность в уравнении Гинзбурга–Ландау

§1. Жесткая турбулентность в уравнении Гинзбурга–Ландау
Уравнение

, (1)

чаще всего называемое зависящим от времени уравнением Гинзбурга–Ландау, по-видимому выводилось много раз различными авторами, но его связь с системами реакция-диффузия общего вида была установлена И. Курамото и Т. Цузуки в 1974 г. Они показали, что (1) описывает поведение двухкомпонентной системы типа реакция-диффузия в окрестности точки бифуркации стационарного однородного решения, т.е. в определенном смысле оно аналогично нормальной форме обыкновенного дифференциального уравнения (надо полагать, что большинство авторов получали его, просто добавляя диффузионный член к нормальной форме для бифуркации Хопфа). Следовательно, исследовав одно это уравнение, можно делать выводы о поведении целого класса моделей. Поэтому оно вызвало большой интерес и детально исследовалось рядом авторов.

В 1990 г. было опубликовано сообщение о том, что при больших c1 и c2 в двумерном и трехмерном уравнении Гинзбурга–Ландау наблюдается так называемая жесткая турбулентность (ЖТ) – хаотический режим с редкими, но исключительно высокими выбросами. В 1992 г. была опубликована работа, где специально исследовались подобные выбросы, но уравнение было несколько модифицировано:

1. предполагалось, что c1 = c2 = n = 1/e,

2. уравнение поделили на n и изменили масштаб времени nt ® t,

3. для случая одной пространственной переменной использовали более сильную нелинейность (о причинах будет сказано ниже), т.е. |w|2 ® |w|4.

Таким образом, реально исследовалось зависящее от времени уравнение Гинзбурга–Ландау с нелинейностью пятого порядка (Quintic Time-Dependent Ginzburg–Landau Equation – QTDGL)

(2)

Кроме того, в тех же работах приводилось качественное объяснение причин возникновения жесткой турбулентности в (2). При e ® 0 оно переходит в нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)

, (3)

которое детально исследовалось в 7080е годы как модель, качественно объясняющая некоторые закономерности задач физики плазмы. Известно, что при достаточно сильной нелинейности s і 4/d, где d – размерность пространства, типичные его решения развиваются в режиме с обострением. Таким образом, в одномерном пространстве обостряющиеся решения наблюдаются при s і 4, в двумерном – при s і 2 (классическая нелинейность TDGL). Видимо, именно поэтому жесткую турбулентность сначала обнаружили в двумерной задаче, а уже потом был найден аналог, допускающий ее исследование в одномерном случае. Далее, говоря о нелинейном уравнении Шредингера, будем иметь в виду уравнение (3) при s = 4. Важной чертой НУШ является наличие трех законов сохранения:

- "массы",

- "импульса",

- "энергии",

(звездочка обозначает комплексное сопряжение).

Эти величины впоследствии окажутся существенными и для описания жесткой турбулентности.

Среди результатов, описанных в работе, отметим следующие.

1. Было подтверждено предположение о том, что при малых e профиль w(x,t) в области растущих больших пиков хорошо описывается решением уравнения Шредингера, причем форма пика при этом сохраняется, т.е. соответствующее решение является автомодельным.

2. Было исследовано статистическое распределение пиков по наибольшей высоте h, до которой они дорастали, и оказалось, что в достаточно широком интервале масштабов оно описывается степенной промежуточной асимптотикой p(h) ~ h–a, где a = 7ё8. Для малых h распределение оказывается иным, а наличие в уравнении членов, пропорциональных e, по-видимому, ограничивает максимальную высоту пиков сверху (хотя доказательства этого факта представлено не было). Такое распределение имеет лишь конечное число моментов; так что, например, |w|4 не имеет даже дисперсии, и мы получаем модель ситуации, типичной для некоторых катастрофических событий: редкие большие выбросы вносят существенный вклад в среднее и определяющий – в дисперсию.

Неясно, насколько типичной моделью подобных событий является (2). Но, поскольку подобных моделей мало, каждая из них может заслуживать исследования хотя бы в некоторых аспектах. В частности, для (2) представляется интересным ответить на следующие вопросы:

- каким образом начинается рост пика и каким образом он прекращается?

- каково происхождение степенного распределения наибольшей высоты пиков?

- можно ли воспроизвести основные элементы жесткой турбулентности на более простых моделях?