§6. Катастрофические процессы в задачах со стоками энергии

§6. Катастрофические процессы в задачах со стоками энергии
В предыдущих параграфах мы рассматривали неограниченные решения квазилинейных параболических уравнений. Эти решения обладают катастрофическим свойством – они достигают бесконечных значений за конечное время. Механизм возникновения таких решений связан либо с наличием сильных источников энергии, либо с сингулярными краевыми условиями. Однако катастрофа может быть отождествлена не только с резким ростом каких-либо параметров системы, но и с их сильным уменьшением. Такие характерные явления в теории нелинейных параболических уравнений связаны с наличием сильных стоков энергии в уравнениях. Например, в задаче Коши (1)–(2) при Q(u) < 0 возможен сингулярный эффект полного остывания среды за конечное время T > 0: u(x,T) є 0 при всех x О RN и u(x,t) № 0 при t О (0;T). Обзор математических проблем и результатов в задачах со стоками тепла можно найти в

Мы рассмотрим примеры численного исследования задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности со стоками тепла

, (35)

. (36)

Уравнение (35) формально допускает автомодельные решения (9)–(10). Поскольку s, b < 0, то этим автомодельным решениям соответствует бесконечный начальный фон температуры. Физически бесконечный фон также невозможен, как и нулевой фон, рассмотренный в предыдущих параграфах, и является приближением фона с большой температурой. Аналитическое исследование задачи (35)–(36) проведено в Основной результат, полученный в этой работе, следующий: в задаче (35)–(36) возможно катастрофически быстрое охлаждение среды за конечное время T > 0. На рис. 7 и рис. 8 приведены примеры численных расчетов этой задачи. Начальная функция в (36) строго положительная, на постоянном фоне температуры ставится возмущение (охлаждение) и исследуется его эволюция. Из рис. 7 и рис. 8 видно, что катастрофическое охлаждение происходит в ограниченной области пространства, но характер полного остывания (достижения нулевой температуры) зависит от соотношения параметров s, b. В случае b < s+1 < 0 полное остывание происходит в одной точке (рис. 8), а при b = s+1 < 1 – на конечном интервале длины LT = 2p(s1)1/2/s (рис. 7). Можно сказать, что это аналоги LS и Sрежимов, рассмотренных ранее в задачах с источниками энергии.

Численные расчеты еще раз наглядно показывают, что проявление характерных свойств сингулярных (катастрофических) решений происходит до момента сингулярности.

Рис. 7. Численное решение задачи (35)–(36) при b=s+1