§2. Условия возникновения режимов с обострением

§2. Условия возникновения режимов с обострением
В предыдущем параграфе мы рассмотрели частные решения (9) уравнения (7), которые реализуются лишь при конкретных начальных условиях (8). Будут ли в задаче (7)–(8) возникать режимы с обострением при других начальных функциях u0(x)? Ответ на этот вопрос дает

Утверждение 4. Пусть s > 0, b > 1 и начальная функция такова, что

, где (16)

, (17)

T > 0, а постоянные A > 0, a > 0 удовлетворяют условиям

, (18)

. (19)

Тогда решение задачи (7)–(8) является неограниченным и время его обострения не больше T.

Доказательство утверждения 4 основано на анализе неограниченного нижнего решения u(t,x) = (Tt)1/(b1)q(x), где функция q(x) удовлетворяет (17). Условия (18)–(19) обеспечивают выполнения неравенства A(u) Ј 0 во всем допустимом пространстве (см. утверждение 2). Можно легко показать, что система (18)–(19) совместна, т.е. условия утверждения 4 содержательны. Что же дает это утверждение? Условие (16) на начальную функцию u0(x) и ограничения (18)–(19) показывают, как должны быть согласованы амплитуда начальной функции и ее ширина, чтобы возник режим с обострением. В частности, видно, что при b О (1,s+1) любая, даже достаточно "малая", функция u0(x) будет удовлетворять условию (16), т.е. режим с обострением (катастрофа) неизбежен при любых начальных распределениях!

Приведем следующий результат, показывающий, когда неограниченные решения существуют при любой нетривиальной начальной функции.

Утверждение 5. Пусть b О (1,s+1+2/N), u0(x) № 0. Тогда решения задачи (7)–(8) являются неограниченными.

Рис. 5. Численное решение задачи (7)–(8) при b=s+1

Режим с обострением локализован на конечном интервале.

Доказательство этого утверждения интересно с той точки зрения, что оно показывает, как формируется режим с обострением на начальной спокойной стадии. Сначала решение задачи (7)–(8) сравнивается с нижним решением v(t,x), удовлетворяющим уравнению

,

а T1, h0 > 0 – произвольные постоянные. Характерное свойство этого решения таково: его амплитуда падает со временем, а носитель расширяется. Такое поведение нижнего решения позволяет показать, что в некоторый момент времени решение u(t,x) будет удовлетворять условиям утверждения 4. Это приводит к возникновению катастрофического решения – режима с обострением. Подчеркнем, что процесс разбивается на две стадии: сначала происходит "растекание" тепла по пространству (набор энергии), затем – взрыв. Пример численного расчета неограниченного решения задачи (7)–(8) приведен на рис. 5.

Возникает вопрос: всегда ли в задаче (7)–(8) реализуются режимы с обострением? Возможны ли такие параметры среды s, b и начальные воздействия, при которых процесс развивается без катастрофических явлений? Ответ на этот вопрос дает

Утверждение 6. Пусть b > s+1+2/N и при некотором T > 0 функция u0(x) в (8) удовлетворяет неравенству

, (20)

где, T > 0, постоянные A > 0, a > 0 удовлетворяют условиям

. (21)

Тогда решение задачи (7)–(8) глобальное по времени и

. (22)

Доказательство основано на сравнении решения задачи (7)–(8) с глобальным верхним решением

,

A, T, a > 0 – постоянные. Условия (21) гарантируют выполнение неравенства A(u+) і 0 в (0;Ґ) ґ RN и, следовательно, при выполнении условия (20) справедлива оценка u(t,x) Ј u+(t,x) в (0;Ґ) ґ RN (см. утверждение 2).

Очевидно, что из последнего утверждения вытекает и оценка амплитуды решения:, t > 0, т.е. мы знаем оценку темпа развития необостряющегося (спокойного) процесса.