§1. Различные типы режимов с обострением

§1. Различные типы режимов с обострением
Для того чтобы показать эффективность теорем сравнения, рассмотрим задачу Коши для конкретного уравнения (1) при k(u) = us, s > 0, Q(u) = ub, b > 1:

(7)

(8)

Если начальная функция u0(x) в (8) положительна в некоторой ограниченной связной области и обращается в ноль на границе этой области, то такую функцию будем называть финитной. Если решение задачи u(t,x) обладает таким свойством при t > 0, то решение также будет называться финитным. Пространственную область, в которой финитное решение положительно, будем называть носителем финитного решения. Известно, что задача (7)–(8) допускает финитное решение, т.е. описывает процессы распространения возмущений с конечной скоростью. Будем предполагать (в дальнейшем мы это покажем), что решение u(t,x) задачи (7)–(8) – режим с обострением, где T < Ґ – время обострения. Ясно, что здесь возникают принципиальные проблемы описания структуры следующих двух множеств:

и.

Множество WL, если оно ограничено, характеризует строгую локализацию неограниченного решения u(t,x). Оно определяет границу области, до которой дошли возмущения при возникновении катастрофических процессов. Структура множества wL еще более интересна и важна, поскольку она показывает ту область, где произошла катастрофа. Если множество wL конечных размеров, то говорят об эффективной локализации режимов с обострением.

Рассмотрим сначала частные автомодельные решения уравнения (7), хорошо иллюстрирующие различные типы обострения. Формально уравнение (7) допускает решения вида

, где (9)

. (10)

Постоянная T > 0 – время обострения автомодельного решения, функция q(x) удовлетворяет эллиптическому уравнению

. (11)

Уравнение (11) достаточно сложное, поэтому для анализа неограниченных автомодельных решений (9) мы рассмотрим только радиально симметричные решения: x = r / (Tt)m, r = |x| і 0. Тогда (11) принимает вид

. (12)

Кроме того, потребуем выполнения следующих естественных условий:

. (13)

В этом случае справедливо следующее

Утверждение 3. Задача (12)–(13) разрешима при любых s > 0, b > 1. Кроме того, при 1 < b Ј s+1 существует финитное решение задачи, а при b > s+1 решение строго положительное: q(x) > 0, x > 0.

Рассмотрим, что же дает это утверждение при анализе свойств автомодельных решений (9). Видно, что при b = s+1 (постоянная m = 0) получается решение в разделяющихся переменных, которое локализовано как в строгом, так и в эффективном смысле. Лучше всего это видно при N = 1, когда уравнение (12) интегрируется и получается решение (6) (рис. 2). Катастрофический режим развивается на ограниченном участке длины LS = 2p(s+1)1/2 / s и, более того, в этом случае существуют более сложные решения. Можно "расставить" решения вида (6) вдоль оси x так, чтобы их носители не перекрывались и тогда катастрофа (обострение) развивается во многих областях, причем процессы в этих областях не влияют друг на друга.

При 1 < b < s+1 (m < 0), когда также существует финитное решение уравнения (12), автомодельные режимы (9) выглядят иначе, чем при b = s+1. Если мы определим точку фронта x0 так, что решение задачи (12)–(13) обращается в ноль в этой точке: q(x0) = 0 и, соответственно, xф(t): uA(t,xф(t)) = 0, то

(14)

и, следовательно, при 1 < b < s+1 (m < 0) фронт решения двигается: |xф(t)| ®  при t ® T , т. е. решение uA(t,x) не локализовано в строгом смысле и, более того,

, (15)

Рис. 3. Неограниченное автомодельное решение (9) при 1<b<s+1

Режим с обострением захватывает все пространство.

т.е. решение не локализовано и в эффективном смысле (рис. 3). Возмущение проникает во все пространство и обострение охватывает также все пространство.

При b > s+1 финитных решений нет, и говорить о строгой локализации автомодельных решений (9) не приходится. Из структуры (9)–(10) при m > 0 видно, что решение обостряется только в одной точке при x = 0, во всех остальных точках оно ограничено предельным распределением uA(T ,x), структуру которого легко получить из свойств решений задачи (12)–(13) (рис. 4). Другими словами, решение (9) уравнения (7) при b > s+1 эффективно локализовано в одной точке.

Рис. 4. Неограниченное автомодельное решение (9) при b>s+1

Эффективная локализация происходит в одной точке x=0.

Мы описали здесь три характерных типа режимов с обострением (blow-up solution):

- S-режим – обострение на конечном интервале (region blow-up),

- LS-режим – обострение в одной точке (single blow-up),

- HS-режим – обострение во всем пространстве (total blow-up).