Глава VII. Режимы с обострением как аналоги катастрофических явлений

Глава VII. Режимы с обострением как аналоги катастрофических явлений
Возможность катастрофических явлений в сложно организованных системах ставит ряд принципиальных вопросов:

- допускает ли структура системы подобные явления?

- в каких элементах (областях) произойдет катастрофа?

- когда она произойдет; можно ли дать оценку времени развития катастрофы?

- что является определяющим в структуре системы для возникновения катастрофы?

- какой ущерб будет нанесен?

- как надо изменить структуру системы или какие должны быть управляющие воздействия, чтобы предотвратить катастрофу?

Оказывается, что такие вопросы, изложенные в другой терминологии, возникают и успешно решаются в теории нелинейных параболических уравнений. Параболические уравнения составляют основу математических моделей, описывающих эволюцию разнообразных процессов в физических, химических, биологических, социально-экономических и др. системах. Математические модели, построенные для исследования конкретных практических задач, часто оказываются очень сложными. Мы ограничимся рассмотрением лишь простых моделей, поскольку опыт математического моделирования показывает, что их изучение позволяет развить методы исследования и дать ответы на принципиальные вопросы.

Охарактеризуем модели и задачи, с которыми имеет дело теория нелинейных параболических уравнений. Несмотря на то, что эволюционные процессы в различных средах имеют разнообразную природу, они описываются достаточно узким набором уравнений или систем уравнений. Среди этих моделей особо выделяются квазилинейные параболические уравнения, встречающиеся, например, в различных задачах нелинейной теплопроводности, диффузии заряженных частиц в плазме, фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, в химической кинетике, в задачах описания эволюции популяций. Будучи внешне простыми, эти уравнения весьма содержательны. Но, пожалуй, главное их достоинство состоит в их физической обоснованности – эти модели передают основные (и подчас весьма тонкие) свойства реальных физических систем. В этой главе мы рассмотрим квазилинейные параболические уравнения второго порядка, которые интенсивно исследуются в последнее время:

. (1)

Поскольку это уравнение описывает, в частности, процесс распространения тепла в нелинейной среде, мы будем использовать терминологию, характерную для задач теплопроводности и горения. Здесь u(t,x) і 0 – температура среды, t і 0 – время, x – Nмерная пространственная координата, N і 1 – размерность пространства, k(u) і 0 – коэффициент теплопроводности (он "отвечает" за диссипацию энергии в среде), Q(u) – объемный источник (Q(u) і 0) или сток (Q(u) Ј 0) энергии, W – пространственная область, в которой рассматриваются процессы. Коэффициенты k(u) и Q(u) предполагаются в общем случае нелинейными функциями температуры u(t,x). Если они оба линейные, то уравнение (1) не порождает "катастрофических" решений, о которых речь пойдет ниже. Можно сказать, что функции k(u) и Q(u) являются "параметрами" системы. Структура уравнения (1) может быть и более сложной. Например, коэффициенты могут зависеть от пространственной переменной x (система с распределенными параметрами), уравнение может содержать члены, отвечающие за перенос тепла, или включать в себя как стоки, так и источники энергии. Но это не столь существенно для проявления основных эволюционных свойств процессов, описываемых уравнением (1).

Само уравнение (1) не определяет математическую задачу, для этого нужно поставить начальные или начально-краевые условия. Если в момент времени t = 0 задана начальная функция во всем пространстве

, (2)

то говорят о задаче Коши для уравнения (1). Если задать условие при t = 0 и условие на границе ¶W области W

(3)

где (0,T) – интервал времени, на котором рассматривается процесс, то это определит начально-краевую задачу для уравнения (1).

Результаты исследования задач (1)–(2) и (1)–(3) излагаются ниже на качественном уровне. Подробности, касающиеся теории параболических уравнений и полученных результатов, можно найти, например, в работах

Можно сказать, что функции u0(x) и u1(t,x) являются аналогами управления. В задаче Коши, когда есть только начальное воздействие u0(x), можно говорить о "разовом" управлении: ресурсы распределены и остается только следить за развитием событий. В начально-краевой задаче мы можем с помощью функции u1(t,x) воздействовать на границу. Далее эти управляющие воздействия распространяются внутрь системы за счет диффузии, которая определяется коэффициентом k(u).

В середине 60х годов математики заинтересовались странными решениями, возникающими в задачах для уравнения (1). При определенных коэффициентах в (1) были получены решения, достигающие бесконечных значений за конечное время (так называемое время обострения): T < Ґ:

. (4)

Рис. 1. Неограниченное решение начально-краевой задачи для уравнения ut=(usux)x

На границе x=0 задан режим с обострением. Решение локализовано в области xО[0;x0].

Такие решения в отечественной литературе называются режимами с обострением или неограниченными решениями На первый взгляд, решения, обладающие подобными свойствами, кажутся только математическими курьезами. Действительно, реальные физические величины не принимают бесконечных значений, но могут резко меняться за конечное время. Такую эволюцию естественно назвать катастрофой. Какова же роль неограниченных решений, которые стремятся к нереальным бесконечным значениям?

Анализ режимов с обострением, возникающих во многих задачах, позволяет сделать важный общий вывод: неограниченные решения проявляют свои характерные эволюционные свойства до достижения бесконечных величин! Численные расчеты часто показывают, что для этого решению достаточно вырасти в 10100 раз. Таким образом, наличие режимов с обострением при математическом моделировании реальных систем позволяет предсказать возможность катастрофического развития процессов в этих системах и дать оценку существенных параметров процесса вблизи момента катастрофы T.

Один из первых примеров неограниченных решений был получен в начально-краевой задаче для уравнения (1) при k(u) = us, s > 0, Q(u) = 0, N = 1. Это решение вида

, (5)

которое наглядно демонстрирует процесс локализации тепловых возмущений в области {0 < x < x0}. Краевое условие u1(t,0) = (Tt)1/s ® Ґ при t ® T, само решение u(t,x) ® Ґ при x О [0;x0), t ® T, а возмущения не проникают в холодное пространство {x > x0} (см. рис. 1).

"Катастрофа" локализована в области x О [0;x0). Построенное решение достаточно простое и с позиций сегодняшнего дня может показаться даже тривиальным, но его появление сыграло значительную роль – оно дало толчок к развитию теории режимов с обострением.

В 1976 г. было построено замечательное решение задачи Коши для уравнения (1) при k(u) = us, s > 0, Q(u) = us+1, N = 1:

(6)

Рис. 2. Неограниченное решение задачи Коши для уравнения ut=(usux)x + us+1

Режим с обострением локализован в области |x|<Ls/2.

где LS = 2p(s+1)1/2 / s – так называемая фундаментальная длина. Главная особенность этого решения состоит в том, что процесс нарастания температуры при t О (0;T) происходит в ограниченной области {|x| < LS / 2}, u(t,x) ® Ґ при t ® T в этой области, а за ее пределами решение равно нулю (рис. 2). Режим с обострением (катастрофа) развивается и самоподдерживается в ограниченной области без каких-либо воздействий извне!

Решения (5) и (6) поставили ряд принципиальных вопросов теории сильно нестационарных процессов:

- возможны ли в задачах режимы с обострением?

- в какой области решение обратится в бесконечность?

- как зависит время обострения T от начально-краевых условий?

- какая энергия выделяется или "закачивается" в среду к моменту обострения?

- при каких параметрах задачи есть решения с обострением, а при каких они отсутствуют?

Прежде чем описывать некоторые результаты теории и проводить соответствующие аналогии, следует сказать об основном инструменте исследования перечисленных выше проблем. Это – принцип максимума в теории параболических уравнений. Суть его такова:

Утверждение 1. Пусть u(1)(t,x), u(2)(t,x) неотрицательные решения задачи (1)–(3) в (0;T) ґ W, причем

Тогда u(2)(t,x) і u(1)(t,x) при (t,x) О (0;T) ґ W.

С точки зрения здравого смысла это утверждение очевидно. Если считать, что u(t,x) – температура, то чем больше начальный нагрев и чем интенсивнее поступает энергия с границы области, тем температура в среде будет больше.

Утверждение 1 позволяет сравнивать решения одной и той же задачи. Еще более сильный инструмент для исследования дает следующее утверждение о сравнении решений различных задач.

Утверждение 2. Пусть u(t,x) – решение задачи (1)–(3) и функции u±(t,x) удовлетворяют неравенствам

Тогда u(t,x) Ј u(t,x) Ј u+(t,x) в [0;T) ґ W.

Функции u+ и u называются соответственно верхним и нижним решениями задачи (1)–(3). Роль верхних и нижних решений велика. Поясним это на следующих примерах. Пусть нам удалось построить нижнее решение u(t,x), удовлетворяющее всем условиям утверждения 2, такое, что u(t,x) ® Ґ при t ® T0 Ј T. Тогда, очевидно, u(t,x) ® Ґ при t ® T1 Ј T0. Т.е. решение u(t,x) развивается в режиме с обострением и, более того, мы получили оценку сверху для времени обострения – времени наступления катастрофы.

Если же есть такая функция u+(t,x) (удовлетворяющая утверждению 2), что u+(t,x) < Ґ при t О (0;Ґ), то тем самым мы доказываем, что решение u(t,x) не может развиваться в режиме с обострением. Такие решения в дальнейшем называются глобальными решениями.

Следует сделать важное замечание о применимости утверждений 1 и 2 (прямое мажорирование одного решения другим) при сравнении различных режимов с обострением, имеющих одинаковый момент обострения. Эти утверждения не применимы! При определенных коэффициентах в уравнении (1) можно доказать следующее утверждение: если u1(t,x), u2(t,x) различные неограниченные решения задачи (1)–(3) и u1(t,x) < u2(t,x) в (0;T) ґ W, то они имеют разные моменты обострения T1, T2, при этом T1 > T2.Техника сравнения таких решений основана на анализе эволюции числа и характера пространственных пересечений решений u1(t,x) и u2(t,x). Основное утверждение выглядит так (достаточно строгая формулировка): число пространственных пересечений N(t) различных решений u1(t,x) и u2(t,x) уравнения (1) не превышает числа пересечений этих решений на параболической границе (грубо говоря, пространственные пересечения могут возникать лишь на границе области W). Для задачи Коши (1)–(2) это означает, что N(t) < N(0).

Сформулированные выше утверждения являются основой анализа пространственно-временной структуры решений параболических уравнений и, в частности, режимов с обострением.